Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6392 / 10520
↖ ↑ ↗
← S 45.460131°
W 39.550781°		 ← 1 713.68 m → S 45.460131°
W 39.528809°		 →
↑
1 713.48 m
↓
↑
1 713.48 m
↓
S 45.475540°
W 39.550781°		 ← 1 713.22 m →
2 935 963 m²		 S 45.475540°
W 39.528809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390167236328125 y=0.642120361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390167236328125 × 214)
    floor (0.390167236328125 × 16384)
    floor (6392.5)     		tx = 6392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642120361328125 × 214)
    floor (0.642120361328125 × 16384)
    floor (10520.5)     		ty = 10520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6392 / 10520 ti = "14/6392/10520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6392/10520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6392 ÷ 214
    6392 ÷ 16384     		x = 0.39013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10520 ÷ 214
    10520 ÷ 16384     		y = 0.64208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69029135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64208984375 × 2 - 1) × π
    -0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69029135} λ = -0.69029135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892776818523926))-π/2
    2×atan(0.409517018012711)-π/2
    2×0.388683684397162-π/2
    0.777367368794323-1.57079632675     		φ = -0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69029135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6392 KachelY 10520 -0.69029135 -0.79342896 -39.550781 -45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 6393 KachelY 10520 -0.68990786 -0.79342896 -39.528809 -45.460131
    Unten links KachelX 6392 KachelY + 1 10521 -0.69029135 -0.79369791 -39.550781 -45.475540
    Unten rechts KachelX + 1 6393 KachelY + 1 10521 -0.68990786 -0.79369791 -39.528809 -45.475540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79342896--0.79369791) × R
    0.000268950000000046 × 6371000     		dl = 1713.48045000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79342896--0.79369791) × R
    0.000268950000000046 × 6371000     		dr = 1713.48045000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69029135--0.68990786) × cos(-0.79342896) × R
    0.000383489999999931 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 1713.68407063771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69029135--0.68990786) × cos(-0.79369791) × R
    0.000383489999999931 × 0.701213686794987 × 6371000     		du = 1713.21565052763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79342896)-sin(-0.79369791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.701213686794987)×R²
    abs(-0.68990786--0.69029135)×0.00019172285301905×R²
    0.000383489999999931×0.00019172285301905×6371000²
    0.000383489999999931×0.00019172285301905×40589641000000     		ar = 2935962.85586079m²