Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6399 / 10497
↖ ↑ ↗
← S 45.104546°
W 39.396973°		 ← 1 724.50 m → S 45.104546°
W 39.375000°		 →
↑
1 724.25 m
↓
↑
1 724.25 m
↓
S 45.120053°
W 39.396973°		 ← 1 724.04 m →
2 973 067 m²		 S 45.120053°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390594482421875 y=0.640716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390594482421875 × 214)
    floor (0.390594482421875 × 16384)
    floor (6399.5)     		tx = 6399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640716552734375 × 214)
    floor (0.640716552734375 × 16384)
    floor (10497.5)     		ty = 10497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6399 / 10497 ti = "14/6399/10497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6399/10497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6399 ÷ 214
    6399 ÷ 16384     		x = 0.39056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10497 ÷ 214
    10497 ÷ 16384     		y = 0.64068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68760689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883956428993835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68760689} λ = -0.68760689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883956428993835))-π/2
    2×atan(0.413145094633525)-π/2
    2×0.391786743044503-π/2
    0.783573486089007-1.57079632675     		φ = -0.78722284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68760689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.396973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78722284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.104546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6399 KachelY 10497 -0.68760689 -0.78722284 -39.396973 -45.104546
    Oben rechts KachelX + 1 6400 KachelY 10497 -0.68722339 -0.78722284 -39.375000 -45.104546
    Unten links KachelX 6399 KachelY + 1 10498 -0.68760689 -0.78749348 -39.396973 -45.120053
    Unten rechts KachelX + 1 6400 KachelY + 1 10498 -0.68722339 -0.78749348 -39.375000 -45.120053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78722284--0.78749348) × R
    0.000270639999999989 × 6371000     		dl = 1724.24743999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78722284--0.78749348) × R
    0.000270639999999989 × 6371000     		dr = 1724.24743999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68760689--0.68722339) × cos(-0.78722284) × R
    0.000383499999999981 × 0.705815363567238 × 6371000     		do = 1724.50350277343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68760689--0.68722339) × cos(-0.78749348) × R
    0.000383499999999981 × 0.705623617469134 × 6371000     		du = 1724.03501365448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78722284)-sin(-0.78749348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705815363567238-0.705623617469134)×R²
    abs(-0.68722339--0.68760689)×0.000191746098103351×R²
    0.000383499999999981×0.000191746098103351×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191746098103351×40589641000000     		ar = 2973066.87249359m²