Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 640 / 385
↖ ↑ ↗
← N 40.713956°
E 45.000000°		 ← 29.631 km → N 40.713956°
E 45.351563°		 →
↑
29.690 km
↓
↑
29.690 km
↓
N 40.446947°
E 45.000000°		 ← 29.749 km →
881.499 km²		 N 40.446947°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62548828125 y=0.37646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62548828125 × 210)
    floor (0.62548828125 × 1024)
    floor (640.5)     		tx = 640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37646484375 × 210)
    floor (0.37646484375 × 1024)
    floor (385.5)     		ty = 385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 640 / 385 ti = "10/640/385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/640/385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 640 ÷ 210
    640 ÷ 1024     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 385 ÷ 210
    385 ÷ 1024     		y = 0.3759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779262240223633))-π/2
    2×atan(2.1798634565377)-π/2
    2×1.14069445372912-π/2
    2.28138890745823-1.57079632675     		φ = 0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 640 KachelY 385 0.78539816 0.71059258 45.000000 40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 641 KachelY 385 0.79153409 0.71059258 45.351563 40.713956
    Unten links KachelX 640 KachelY + 1 386 0.78539816 0.70593240 45.000000 40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 641 KachelY + 1 386 0.79153409 0.70593240 45.351563 40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71059258-0.70593240) × R
    0.00466018000000001 × 6371000     		dl = 29690.0067800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71059258-0.70593240) × R
    0.00466018000000001 × 6371000     		dr = 29690.0067800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.79153409) × cos(0.71059258) × R
    0.00613593000000001 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 29630.7850356659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.79153409) × cos(0.70593240) × R
    0.00613593000000001 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 29749.2930441445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71059258)-sin(0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.76100699404595)×R²
    abs(0.79153409-0.78539816)×0.00303151483865072×R²
    0.00613593000000001×0.00303151483865072×6371000²
    0.00613593000000001×0.00303151483865072×40589641000000     		ar = 881499055.707142m²