Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6400 / 6401
↖ ↑ ↗
← S 70.627196°
E101.250000°		 ← 1 620.92 m → S 70.627196°
E101.293945°		 →
↑
1 620.34 m
↓
↑
1 620.34 m
↓
S 70.641769°
E101.250000°		 ← 1 619.74 m →
2 625 478 m²		 S 70.641769°
E101.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78131103515625 y=0.78143310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78131103515625 × 213)
    floor (0.78131103515625 × 8192)
    floor (6400.5)     		tx = 6400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78143310546875 × 213)
    floor (0.78143310546875 × 8192)
    floor (6401.5)     		ty = 6401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6400 / 6401 ti = "13/6400/6401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6400/6401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6400 ÷ 213
    6400 ÷ 8192     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6401 ÷ 213
    6401 ÷ 8192     		y = 0.7813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76791285798767))-π/2
    2×atan(0.170688869219744)-π/2
    2×0.169059600941649-π/2
    0.338119201883299-1.57079632675     		φ = -1.23267712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23267712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.627196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6400 KachelY 6401 1.76714587 -1.23267712 101.250000 -70.627196
    Oben rechts KachelX + 1 6401 KachelY 6401 1.76791286 -1.23267712 101.293945 -70.627196
    Unten links KachelX 6400 KachelY + 1 6402 1.76714587 -1.23293145 101.250000 -70.641769
    Unten rechts KachelX + 1 6401 KachelY + 1 6402 1.76791286 -1.23293145 101.293945 -70.641769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23267712--1.23293145) × R
    0.000254329999999969 × 6371000     		dl = 1620.3364299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23267712--1.23293145) × R
    0.000254329999999969 × 6371000     		dr = 1620.3364299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.76791286) × cos(-1.23267712) × R
    0.000766990000000023 × 0.331713376781556 × 6371000     		do = 1620.91518984636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.76791286) × cos(-1.23293145) × R
    0.000766990000000023 × 0.331473436165073 × 6371000     		du = 1619.74272163392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23267712)-sin(-1.23293145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331713376781556-0.331473436165073)×R²
    abs(1.76791286-1.76714587)×0.00023994061648297×R²
    0.000766990000000023×0.00023994061648297×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023994061648297×40589641000000     		ar = 2625478.04972283m²