Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6402 / 10499
↖ ↑ ↗
← S 45.135555°
W 39.331055°		 ← 1 723.52 m → S 45.135555°
W 39.309082°		 →
↑
1 723.29 m
↓
↑
1 723.29 m
↓
S 45.151053°
W 39.331055°		 ← 1 723.05 m →
2 969 727 m²		 S 45.151053°
W 39.309082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390777587890625 y=0.640838623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390777587890625 × 214)
    floor (0.390777587890625 × 16384)
    floor (6402.5)     		tx = 6402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640838623046875 × 214)
    floor (0.640838623046875 × 16384)
    floor (10499.5)     		ty = 10499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6402 / 10499 ti = "14/6402/10499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6402/10499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6402 ÷ 214
    6402 ÷ 16384     		x = 0.3907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10499 ÷ 214
    10499 ÷ 16384     		y = 0.64080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.2816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.884723419387756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68645640} λ = -0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884723419387756))-π/2
    2×atan(0.412828337804896)-π/2
    2×0.391516139776516-π/2
    0.783032279553031-1.57079632675     		φ = -0.78776405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78776405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.135555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6402 KachelY 10499 -0.68645640 -0.78776405 -39.331055 -45.135555
    Oben rechts KachelX + 1 6403 KachelY 10499 -0.68607291 -0.78776405 -39.309082 -45.135555
    Unten links KachelX 6402 KachelY + 1 10500 -0.68645640 -0.78803454 -39.331055 -45.151053
    Unten rechts KachelX + 1 6403 KachelY + 1 10500 -0.68607291 -0.78803454 -39.309082 -45.151053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78776405--0.78803454) × R
    0.000270489999999901 × 6371000     		dl = 1723.29178999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78776405--0.78803454) × R
    0.000270489999999901 × 6371000     		dr = 1723.29178999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68645640--0.68607291) × cos(-0.78776405) × R
    0.000383489999999931 × 0.70543186930136 × 6371000     		do = 1723.52157641412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68645640--0.68607291) × cos(-0.78803454) × R
    0.000383489999999931 × 0.705240126207726 × 6371000     		du = 1723.05310685187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78776405)-sin(-0.78803454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70543186930136-0.705240126207726)×R²
    abs(-0.68607291--0.68645640)×0.000191743093634233×R²
    0.000383489999999931×0.000191743093634233×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191743093634233×40589641000000     		ar = 2969726.94575206m²