Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6404 / 10500
↖ ↑ ↗
← S 45.151053°
W 39.287109°		 ← 1 723.05 m → S 45.151053°
W 39.265137°		 →
↑
1 722.85 m
↓
↑
1 722.85 m
↓
S 45.166547°
W 39.287109°		 ← 1 722.58 m →
2 968 151 m²		 S 45.166547°
W 39.265137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390899658203125 y=0.640899658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390899658203125 × 214)
    floor (0.390899658203125 × 16384)
    floor (6404.5)     		tx = 6404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640899658203125 × 214)
    floor (0.640899658203125 × 16384)
    floor (10500.5)     		ty = 10500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6404 / 10500 ti = "14/6404/10500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6404/10500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6404 ÷ 214
    6404 ÷ 16384     		x = 0.390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10500 ÷ 214
    10500 ÷ 16384     		y = 0.640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.28173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.885106914584717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68568941} λ = -0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885106914584717))-π/2
    2×atan(0.412670050473335)-π/2
    2×0.39138089329266-π/2
    0.782761786585319-1.57079632675     		φ = -0.78803454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78803454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.151053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6404 KachelY 10500 -0.68568941 -0.78803454 -39.287109 -45.151053
    Oben rechts KachelX + 1 6405 KachelY 10500 -0.68530592 -0.78803454 -39.265137 -45.151053
    Unten links KachelX 6404 KachelY + 1 10501 -0.68568941 -0.78830496 -39.287109 -45.166547
    Unten rechts KachelX + 1 6405 KachelY + 1 10501 -0.68530592 -0.78830496 -39.265137 -45.166547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78803454--0.78830496) × R
    0.000270420000000104 × 6371000     		dl = 1722.84582000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78803454--0.78830496) × R
    0.000270420000000104 × 6371000     		dr = 1722.84582000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68568941--0.68530592) × cos(-0.78803454) × R
    0.000383490000000042 × 0.705240126207726 × 6371000     		do = 1723.05310685237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68568941--0.68530592) × cos(-0.78830496) × R
    0.000383490000000042 × 0.705048381156457 × 6371000     		du = 1722.5846325072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78803454)-sin(-0.78830496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705240126207726-0.705048381156457)×R²
    abs(-0.68530592--0.68568941)×0.000191745051268843×R²
    0.000383490000000042×0.000191745051268843×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191745051268843×40589641000000     		ar = 2968151.30633343m²