Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6406 / 10502
↖ ↑ ↗
← S 45.182037°
W 39.243164°		 ← 1 722.12 m → S 45.182037°
W 39.221192°		 →
↑
1 721.89 m
↓
↑
1 721.89 m
↓
S 45.197522°
W 39.243164°		 ← 1 721.65 m →
2 964 892 m²		 S 45.197522°
W 39.221192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391021728515625 y=0.641021728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391021728515625 × 214)
    floor (0.391021728515625 × 16384)
    floor (6406.5)     		tx = 6406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641021728515625 × 214)
    floor (0.641021728515625 × 16384)
    floor (10502.5)     		ty = 10502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6406 / 10502 ti = "14/6406/10502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6406/10502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6406 ÷ 214
    6406 ÷ 16384     		x = 0.3909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10502 ÷ 214
    10502 ÷ 16384     		y = 0.6409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68492242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885873904978638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68492242} λ = -0.68492242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885873904978638))-π/2
    2×atan(0.412353657859321)-π/2
    2×0.391110510624726-π/2
    0.782221021249452-1.57079632675     		φ = -0.78857531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68492242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78857531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.182037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6406 KachelY 10502 -0.68492242 -0.78857531 -39.243164 -45.182037
    Oben rechts KachelX + 1 6407 KachelY 10502 -0.68453893 -0.78857531 -39.221192 -45.182037
    Unten links KachelX 6406 KachelY + 1 10503 -0.68492242 -0.78884558 -39.243164 -45.197522
    Unten rechts KachelX + 1 6407 KachelY + 1 10503 -0.68453893 -0.78884558 -39.221192 -45.197522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78857531--0.78884558) × R
    0.000270270000000017 × 6371000     		dl = 1721.89017000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78857531--0.78884558) × R
    0.000270270000000017 × 6371000     		dr = 1721.89017000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68492242--0.68453893) × cos(-0.78857531) × R
    0.000383490000000042 × 0.704856634201619 × 6371000     		do = 1722.1161535112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68492242--0.68453893) × cos(-0.78884558) × R
    0.000383490000000042 × 0.704664892492653 × 6371000     		du = 1721.647687332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78857531)-sin(-0.78884558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704856634201619-0.704664892492653)×R²
    abs(-0.68453893--0.68492242)×0.000191741708966853×R²
    0.000383490000000042×0.000191741708966853×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191741708966853×40589641000000     		ar = 2964891.57072232m²