Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6409 / 10505
↖ ↑ ↗
← S 45.228480°
W 39.177246°		 ← 1 720.76 m → S 45.228480°
W 39.155273°		 →
↑
1 720.49 m
↓
↑
1 720.49 m
↓
S 45.243953°
W 39.177246°		 ← 1 720.29 m →
2 960 137 m²		 S 45.243953°
W 39.155273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391204833984375 y=0.641204833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391204833984375 × 214)
    floor (0.391204833984375 × 16384)
    floor (6409.5)     		tx = 6409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641204833984375 × 214)
    floor (0.641204833984375 × 16384)
    floor (10505.5)     		ty = 10505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6409 / 10505 ti = "14/6409/10505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6409/10505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6409 ÷ 214
    6409 ÷ 16384     		x = 0.39117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10505 ÷ 214
    10505 ÷ 16384     		y = 0.64117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.887024390569519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68377194} λ = -0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887024390569519))-π/2
    2×atan(0.411879523712156)-π/2
    2×0.390705212370457-π/2
    0.781410424740915-1.57079632675     		φ = -0.78938590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78938590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.228480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6409 KachelY 10505 -0.68377194 -0.78938590 -39.177246 -45.228480
    Oben rechts KachelX + 1 6410 KachelY 10505 -0.68338844 -0.78938590 -39.155273 -45.228480
    Unten links KachelX 6409 KachelY + 1 10506 -0.68377194 -0.78965595 -39.177246 -45.243953
    Unten rechts KachelX + 1 6410 KachelY + 1 10506 -0.68338844 -0.78965595 -39.155273 -45.243953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78938590--0.78965595) × R
    0.000270050000000022 × 6371000     		dl = 1720.48855000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78938590--0.78965595) × R
    0.000270050000000022 × 6371000     		dr = 1720.48855000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68377194--0.68338844) × cos(-0.78938590) × R
    0.000383499999999981 × 0.70428141085276 × 6371000     		do = 1720.75562908613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68377194--0.68338844) × cos(-0.78965595) × R
    0.000383499999999981 × 0.704089671033564 × 6371000     		du = 1720.28715530829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78938590)-sin(-0.78965595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70428141085276-0.704089671033564)×R²
    abs(-0.68338844--0.68377194)×0.000191739819196179×R²
    0.000383499999999981×0.000191739819196179×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191739819196179×40589641000000     		ar = 2960137.37329529m²