Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 641 / 129
↖ ↑ ↗
← N 79.105086°
E 45.351563°		 ← 7 388.70 m → N 79.105086°
E 45.703125°		 →
↑
7 411 m
↓
↑
7 411 m
↓
N 79.038438°
E 45.351563°		 ← 7 433.35 m →
54 923 132 m²		 N 79.038438°
E 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62646484375 y=0.12646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62646484375 × 210)
    floor (0.62646484375 × 1024)
    floor (641.5)     		tx = 641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12646484375 × 210)
    floor (0.12646484375 × 1024)
    floor (129.5)     		ty = 129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 641 / 129 ti = "10/641/129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/641/129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 641 ÷ 210
    641 ÷ 1024     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 129 ÷ 210
    129 ÷ 1024     		y = 0.1259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1259765625 × 2 - 1) × π
    0.748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35005856697363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35005856697363))-π/2
    2×atan(10.4861838507967)-π/2
    2×1.47572026819272-π/2
    2.95144053638544-1.57079632675     		φ = 1.38064421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38064421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.105086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 641 KachelY 129 0.79153409 1.38064421 45.351563 79.105086
    Oben rechts KachelX + 1 642 KachelY 129 0.79767001 1.38064421 45.703125 79.105086
    Unten links KachelX 641 KachelY + 1 130 0.79153409 1.37948097 45.351563 79.038438
    Unten rechts KachelX + 1 642 KachelY + 1 130 0.79767001 1.37948097 45.703125 79.038438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38064421-1.37948097) × R
    0.00116324000000012 × 6371000     		dl = 7411.00204000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38064421-1.37948097) × R
    0.00116324000000012 × 6371000     		dr = 7411.00204000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79767001) × cos(1.38064421) × R
    0.00613592000000007 × 0.189008272127693 × 6371000     		do = 7388.70122805183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79767001) × cos(1.37948097) × R
    0.00613592000000007 × 0.190150417168949 × 6371000     		du = 7433.34990069423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38064421)-sin(1.37948097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189008272127693-0.190150417168949)×R²
    abs(0.79767001-0.79153409)×0.00114214504125518×R²
    0.00613592000000007×0.00114214504125518×6371000²
    0.00613592000000007×0.00114214504125518×40589641000000     		ar = 54923131.7692315m²