Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 641 / 383
↖ ↑ ↗
← N 41.244773°
E 45.351563°		 ← 29.393 km → N 41.244773°
E 45.703125°		 →
↑
29.453 km
↓
↑
29.453 km
↓
N 40.979898°
E 45.351563°		 ← 29.512 km →
867.461 km²		 N 40.979898°
E 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62646484375 y=0.37451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62646484375 × 210)
    floor (0.62646484375 × 1024)
    floor (641.5)     		tx = 641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37451171875 × 210)
    floor (0.37451171875 × 1024)
    floor (383.5)     		ty = 383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 641 / 383 ti = "10/641/383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/641/383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 641 ÷ 210
    641 ÷ 1024     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 383 ÷ 210
    383 ÷ 1024     		y = 0.3740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791534086526367))-π/2
    2×atan(2.20677922111228)-π/2
    2×1.14532670170008-π/2
    2.29065340340016-1.57079632675     		φ = 0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 641 KachelY 383 0.79153409 0.71985708 45.351563 41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 642 KachelY 383 0.79767001 0.71985708 45.703125 41.244773
    Unten links KachelX 641 KachelY + 1 384 0.79153409 0.71523415 45.351563 40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 642 KachelY + 1 384 0.79767001 0.71523415 45.703125 40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71985708-0.71523415) × R
    0.00462293000000003 × 6371000     		dl = 29452.6870300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71985708-0.71523415) × R
    0.00462293000000003 × 6371000     		dr = 29452.6870300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79767001) × cos(0.71985708) × R
    0.00613592000000007 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 29393.2329024631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79767001) × cos(0.71523415) × R
    0.00613592000000007 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 29512.0625280647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71985708)-sin(0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.754939707695381)×R²
    abs(0.79767001-0.79153409)×0.00303974697572806×R²
    0.00613592000000007×0.00303974697572806×6371000²
    0.00613592000000007×0.00303974697572806×40589641000000     		ar = 867461160.273928m²