Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6412 / 10508
↖ ↑ ↗
← S 45.274887°
W 39.111328°		 ← 1 719.31 m → S 45.274887°
W 39.089356°		 →
↑
1 719.09 m
↓
↑
1 719.09 m
↓
S 45.290347°
W 39.111328°		 ← 1 718.84 m →
2 955 233 m²		 S 45.290347°
W 39.089356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391387939453125 y=0.641387939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391387939453125 × 214)
    floor (0.391387939453125 × 16384)
    floor (6412.5)     		tx = 6412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641387939453125 × 214)
    floor (0.641387939453125 × 16384)
    floor (10508.5)     		ty = 10508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6412 / 10508 ti = "14/6412/10508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6412/10508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6412 ÷ 214
    6412 ÷ 16384     		x = 0.391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10508 ÷ 214
    10508 ÷ 16384     		y = 0.641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.21728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.68262145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.28271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.8881748761604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68262145} λ = -0.68262145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8881748761604))-π/2
    2×atan(0.411405934735831)-π/2
    2×0.390300245009866-π/2
    0.780600490019733-1.57079632675     		φ = -0.79019584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68262145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79019584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.274887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6412 KachelY 10508 -0.68262145 -0.79019584 -39.111328 -45.274887
    Oben rechts KachelX + 1 6413 KachelY 10508 -0.68223796 -0.79019584 -39.089356 -45.274887
    Unten links KachelX 6412 KachelY + 1 10509 -0.68262145 -0.79046567 -39.111328 -45.290347
    Unten rechts KachelX + 1 6413 KachelY + 1 10509 -0.68223796 -0.79046567 -39.089356 -45.290347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79019584--0.79046567) × R
    0.000269830000000026 × 6371000     		dl = 1719.08693000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79019584--0.79046567) × R
    0.000269830000000026 × 6371000     		dr = 1719.08693000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68262145--0.68223796) × cos(-0.79019584) × R
    0.000383489999999931 × 0.703706186570858 × 6371000     		do = 1719.30536284411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68262145--0.68223796) × cos(-0.79046567) × R
    0.000383489999999931 × 0.703514449141908 × 6371000     		du = 1718.8369071219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79019584)-sin(-0.79046567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703706186570858-0.703514449141908)×R²
    abs(-0.68223796--0.68262145)×0.000191737428949623×R²
    0.000383489999999931×0.000191737428949623×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191737428949623×40589641000000     		ar = 2955232.73782024m²