Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 642 / 126
↖ ↑ ↗
← N 79.302640°
E 45.703125°		 ← 7 256.30 m → N 79.302640°
E 46.054687°		 →
↑
7 278.23 m
↓
↑
7 278.23 m
↓
N 79.237185°
E 45.703125°		 ← 7 300.18 m →
52 972 702 m²		 N 79.237185°
E 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62744140625 y=0.12353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62744140625 × 210)
    floor (0.62744140625 × 1024)
    floor (642.5)     		tx = 642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12353515625 × 210)
    floor (0.12353515625 × 1024)
    floor (126.5)     		ty = 126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 642 / 126 ti = "10/642/126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/642/126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 642 ÷ 210
    642 ÷ 1024     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 126 ÷ 210
    126 ÷ 1024     		y = 0.123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123046875 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36846633642773))-π/2
    2×atan(10.6809986576139)-π/2
    2×1.4774442468416-π/2
    2.9548884936832-1.57079632675     		φ = 1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 642 KachelY 126 0.79767001 1.38409217 45.703125 79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 643 KachelY 126 0.80380593 1.38409217 46.054687 79.302640
    Unten links KachelX 642 KachelY + 1 127 0.79767001 1.38294977 45.703125 79.237185
    Unten rechts KachelX + 1 643 KachelY + 1 127 0.80380593 1.38294977 46.054687 79.237185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38409217-1.38294977) × R
    0.00114239999999999 × 6371000     		dl = 7278.23039999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38409217-1.38294977) × R
    0.00114239999999999 × 6371000     		dr = 7278.23039999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.80380593) × cos(1.38409217) × R
    0.00613591999999996 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 7256.29958045182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.80380593) × cos(1.38294977) × R
    0.00613591999999996 × 0.186743768364246 × 6371000     		du = 7300.17736848958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38409217)-sin(1.38294977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.186743768364246)×R²
    abs(0.80380593-0.79767001)×0.00112242526065576×R²
    0.00613591999999996×0.00112242526065576×6371000²
    0.00613591999999996×0.00112242526065576×40589641000000     		ar = 52972702.2844615m²