Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 642 / 130
↖ ↑ ↗
← N 79.038438°
E 45.703125°		 ← 7 433.35 m → N 79.038438°
E 46.054687°		 →
↑
7 455.79 m
↓
↑
7 455.79 m
↓
N 78.971386°
E 45.703125°		 ← 7 478.26 m →
55 588 917 m²		 N 78.971386°
E 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62744140625 y=0.12744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62744140625 × 210)
    floor (0.62744140625 × 1024)
    floor (642.5)     		tx = 642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12744140625 × 210)
    floor (0.12744140625 × 1024)
    floor (130.5)     		ty = 130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 642 / 130 ti = "10/642/130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/642/130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 642 ÷ 210
    642 ÷ 1024     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 130 ÷ 210
    130 ÷ 1024     		y = 0.126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126953125 × 2 - 1) × π
    0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34392264382227))-π/2
    2×atan(10.4220384294788)-π/2
    2×1.47513864773884-π/2
    2.95027729547768-1.57079632675     		φ = 1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 642 KachelY 130 0.79767001 1.37948097 45.703125 79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 643 KachelY 130 0.80380593 1.37948097 46.054687 79.038438
    Unten links KachelX 642 KachelY + 1 131 0.79767001 1.37831070 45.703125 78.971386
    Unten rechts KachelX + 1 643 KachelY + 1 131 0.80380593 1.37831070 46.054687 78.971386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37948097-1.37831070) × R
    0.00117026999999981 × 6371000     		dl = 7455.79016999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37948097-1.37831070) × R
    0.00117026999999981 × 6371000     		dr = 7455.79016999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.80380593) × cos(1.37948097) × R
    0.00613591999999996 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 7433.3499006941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.80380593) × cos(1.37831070) × R
    0.00613591999999996 × 0.191299205085577 × 6371000     		du = 7478.25825626402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37948097)-sin(1.37831070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.191299205085577)×R²
    abs(0.80380593-0.79767001)×0.0011487879166289×R²
    0.00613591999999996×0.0011487879166289×6371000²
    0.00613591999999996×0.0011487879166289×40589641000000     		ar = 55588917.1019975m²