Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 642 / 386
↖ ↑ ↗
← N 40.446947°
E 45.703125°		 ← 29.749 km → N 40.446947°
E 46.054687°		 →
↑
29.808 km
↓
↑
29.808 km
↓
N 40.178873°
E 45.703125°		 ← 29.868 km →
888.544 km²		 N 40.178873°
E 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62744140625 y=0.37744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62744140625 × 210)
    floor (0.62744140625 × 1024)
    floor (642.5)     		tx = 642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37744140625 × 210)
    floor (0.37744140625 × 1024)
    floor (386.5)     		ty = 386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 642 / 386 ti = "10/642/386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/642/386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 642 ÷ 210
    642 ÷ 1024     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 386 ÷ 210
    386 ÷ 1024     		y = 0.376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376953125 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773126317072266))-π/2
    2×atan(2.16652893352867)-π/2
    2×1.13836436267397-π/2
    2.27672872534795-1.57079632675     		φ = 0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 642 KachelY 386 0.79767001 0.70593240 45.703125 40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 643 KachelY 386 0.80380593 0.70593240 46.054687 40.446947
    Unten links KachelX 642 KachelY + 1 387 0.79767001 0.70125363 45.703125 40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 643 KachelY + 1 387 0.80380593 0.70125363 46.054687 40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70593240-0.70125363) × R
    0.00467877000000005 × 6371000     		dl = 29808.4436700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70593240-0.70125363) × R
    0.00467877000000005 × 6371000     		dr = 29808.4436700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.80380593) × cos(0.70593240) × R
    0.00613591999999996 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 29749.2445603887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.80380593) × cos(0.70125363) × R
    0.00613591999999996 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 29867.5751713029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70593240)-sin(0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.764033975868385)×R²
    abs(0.80380593-0.79767001)×0.00302698182243444×R²
    0.00613591999999996×0.00302698182243444×6371000²
    0.00613591999999996×0.00302698182243444×40589641000000     		ar = 888543927.296959m²