Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 643 / 133
↖ ↑ ↗
← N 78.836065°
E 46.054687°		 ← 7 568.87 m → N 78.836065°
E 46.406250°		 →
↑
7 591.68 m
↓
↑
7 591.68 m
↓
N 78.767792°
E 46.054687°		 ← 7 614.57 m →
57 633 936 m²		 N 78.767792°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62841796875 y=0.13037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62841796875 × 210)
    floor (0.62841796875 × 1024)
    floor (643.5)     		tx = 643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13037109375 × 210)
    floor (0.13037109375 × 1024)
    floor (133.5)     		ty = 133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 643 / 133 ti = "10/643/133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/643/133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 643 ÷ 210
    643 ÷ 1024     		x = 0.6279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 133 ÷ 210
    133 ÷ 1024     		y = 0.1298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1298828125 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32551487436816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80380593} λ = 0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32551487436816))-π/2
    2×atan(10.2319468969953)-π/2
    2×1.47337261913024-π/2
    2.94674523826048-1.57079632675     		φ = 1.37594891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37594891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.836065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 643 KachelY 133 0.80380593 1.37594891 46.054687 78.836065
    Oben rechts KachelX + 1 644 KachelY 133 0.80994186 1.37594891 46.406250 78.836065
    Unten links KachelX 643 KachelY + 1 134 0.80380593 1.37475731 46.054687 78.767792
    Unten rechts KachelX + 1 644 KachelY + 1 134 0.80994186 1.37475731 46.406250 78.767792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37594891-1.37475731) × R
    0.00119160000000007 × 6371000     		dl = 7591.68360000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37594891-1.37475731) × R
    0.00119160000000007 × 6371000     		dr = 7591.68360000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80380593-0.80994186) × cos(1.37594891) × R
    0.00613593000000001 × 0.193616841309623 × 6371000     		do = 7568.87150245271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80380593-0.80994186) × cos(1.37475731) × R
    0.00613593000000001 × 0.194785755193382 × 6371000     		du = 7614.56669572081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37594891)-sin(1.37475731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193616841309623-0.194785755193382)×R²
    abs(0.80994186-0.80380593)×0.00116891388375867×R²
    0.00613593000000001×0.00116891388375867×6371000²
    0.00613593000000001×0.00116891388375867×40589641000000     		ar = 57633936.1999364m²