Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 643 / 135
↖ ↑ ↗
← N 78.699106°
E 46.054687°		 ← 7 660.53 m → N 78.699106°
E 46.406250°		 →
↑
7 683.62 m
↓
↑
7 683.62 m
↓
N 78.630006°
E 46.054687°		 ← 7 706.75 m →
59 038 155 m²		 N 78.630006°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62841796875 y=0.13232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62841796875 × 210)
    floor (0.62841796875 × 1024)
    floor (643.5)     		tx = 643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13232421875 × 210)
    floor (0.13232421875 × 1024)
    floor (135.5)     		ty = 135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 643 / 135 ti = "10/643/135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/643/135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 643 ÷ 210
    643 ÷ 1024     		x = 0.6279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 135 ÷ 210
    135 ÷ 1024     		y = 0.1318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    0.736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31324302806543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80380593} λ = 0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31324302806543))-π/2
    2×atan(10.1071493317543)-π/2
    2×1.47217742177889-π/2
    2.94435484355779-1.57079632675     		φ = 1.37355852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37355852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.699106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 643 KachelY 135 0.80380593 1.37355852 46.054687 78.699106
    Oben rechts KachelX + 1 644 KachelY 135 0.80994186 1.37355852 46.406250 78.699106
    Unten links KachelX 643 KachelY + 1 136 0.80380593 1.37235249 46.054687 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 644 KachelY + 1 136 0.80994186 1.37235249 46.406250 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37355852-1.37235249) × R
    0.00120603000000008 × 6371000     		dl = 7683.61713000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37355852-1.37235249) × R
    0.00120603000000008 × 6371000     		dr = 7683.61713000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80380593-0.80994186) × cos(1.37355852) × R
    0.00613593000000001 × 0.195961443101301 × 6371000     		do = 7660.52669920936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80380593-0.80994186) × cos(1.37235249) × R
    0.00613593000000001 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 7706.75316561557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37355852)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195961443101301-0.197143947310492)×R²
    abs(0.80994186-0.80380593)×0.00118250420919083×R²
    0.00613593000000001×0.00118250420919083×6371000²
    0.00613593000000001×0.00118250420919083×40589641000000     		ar = 59038154.5613937m²