Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 644 / 132
↖ ↑ ↗
← N 78.903929°
E 46.406250°		 ← 7 523.43 m → N 78.903929°
E 46.757813°		 →
↑
7 546.13 m
↓
↑
7 546.13 m
↓
N 78.836065°
E 46.406250°		 ← 7 568.86 m →
56 944 193 m²		 N 78.836065°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62939453125 y=0.12939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62939453125 × 210)
    floor (0.62939453125 × 1024)
    floor (644.5)     		tx = 644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12939453125 × 210)
    floor (0.12939453125 × 1024)
    floor (132.5)     		ty = 132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 644 / 132 ti = "10/644/132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/644/132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 644 ÷ 210
    644 ÷ 1024     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 132 ÷ 210
    132 ÷ 1024     		y = 0.12890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12890625 × 2 - 1) × π
    0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33165079751953))-π/2
    2×atan(10.2949223455174)-π/2
    2×1.47396484368687-π/2
    2.94792968737375-1.57079632675     		φ = 1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 644 KachelY 132 0.80994186 1.37713336 46.406250 78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 645 KachelY 132 0.81607778 1.37713336 46.757813 78.903929
    Unten links KachelX 644 KachelY + 1 133 0.80994186 1.37594891 46.406250 78.836065
    Unten rechts KachelX + 1 645 KachelY + 1 133 0.81607778 1.37594891 46.757813 78.836065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37713336-1.37594891) × R
    0.00118445 × 6371000     		dl = 7546.13095000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37713336-1.37594891) × R
    0.00118445 × 6371000     		dr = 7546.13095000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(1.37713336) × R
    0.00613591999999996 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 7523.4275836844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(1.37594891) × R
    0.00613591999999996 × 0.193616841309623 × 6371000     		du = 7568.85916712369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37713336)-sin(1.37594891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.193616841309623)×R²
    abs(0.81607778-0.80994186)×0.00116217246047043×R²
    0.00613591999999996×0.00116217246047043×6371000²
    0.00613591999999996×0.00116217246047043×40589641000000     		ar = 56944192.7356385m²