Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 644 / 141
↖ ↑ ↗
← N 78.278202°
E 46.406250°		 ← 7 941.91 m → N 78.278202°
E 46.757813°		 →
↑
7 965.85 m
↓
↑
7 965.85 m
↓
N 78.206563°
E 46.406250°		 ← 7 989.77 m →
63 454 709 m²		 N 78.206563°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62939453125 y=0.13818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62939453125 × 210)
    floor (0.62939453125 × 1024)
    floor (644.5)     		tx = 644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13818359375 × 210)
    floor (0.13818359375 × 1024)
    floor (141.5)     		ty = 141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 644 / 141 ti = "10/644/141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/644/141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 644 ÷ 210
    644 ÷ 1024     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 141 ÷ 210
    141 ÷ 1024     		y = 0.1376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    0.724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27642748915723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27642748915723))-π/2
    2×atan(9.74181542760384)-π/2
    2×1.46850433735916-π/2
    2.93700867471832-1.57079632675     		φ = 1.36621235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36621235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.278202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 644 KachelY 141 0.80994186 1.36621235 46.406250 78.278202
    Oben rechts KachelX + 1 645 KachelY 141 0.81607778 1.36621235 46.757813 78.278202
    Unten links KachelX 644 KachelY + 1 142 0.80994186 1.36496202 46.406250 78.206563
    Unten rechts KachelX + 1 645 KachelY + 1 142 0.81607778 1.36496202 46.757813 78.206563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36621235-1.36496202) × R
    0.00125032999999997 × 6371000     		dl = 7965.85242999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36621235-1.36496202) × R
    0.00125032999999997 × 6371000     		dr = 7965.85242999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(1.36621235) × R
    0.00613591999999996 × 0.203159830211532 × 6371000     		do = 7941.91317700946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(1.36496202) × R
    0.00613591999999996 × 0.204383926193747 × 6371000     		du = 7989.76547143675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36621235)-sin(1.36496202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203159830211532-0.204383926193747)×R²
    abs(0.81607778-0.80994186)×0.00122409598221543×R²
    0.00613591999999996×0.00122409598221543×6371000²
    0.00613591999999996×0.00122409598221543×40589641000000     		ar = 63454708.8045322m²