Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 644 / 900
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
E 46.406250°		 ← 7 169.31 m → S 79.432371°
E 46.757813°		 →
↑
7 147.75 m
↓
↑
7 147.75 m
↓
S 79.496652°
E 46.406250°		 ← 7 126.19 m →
51 090 329 m²		 S 79.496652°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62939453125 y=0.87939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62939453125 × 210)
    floor (0.62939453125 × 1024)
    floor (644.5)     		tx = 644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87939453125 × 210)
    floor (0.87939453125 × 1024)
    floor (900.5)     		ty = 900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 644 / 900 ti = "10/644/900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/644/900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 644 ÷ 210
    644 ÷ 1024     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 900 ÷ 210
    900 ÷ 1024     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 644 KachelY 900 0.80994186 -1.38635640 46.406250 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 645 KachelY 900 0.81607778 -1.38635640 46.757813 -79.432371
    Unten links KachelX 644 KachelY + 1 901 0.80994186 -1.38747832 46.406250 -79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 645 KachelY + 1 901 0.81607778 -1.38747832 46.757813 -79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38747832) × R
    0.00112192000000011 × 6371000     		dl = 7147.7523200007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38747832) × R
    0.00112192000000011 × 6371000     		dr = 7147.7523200007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(-1.38635640) × R
    0.00613591999999996 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 7169.30613579705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(-1.38747832) × R
    0.00613591999999996 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 7126.1874673013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.182292982011374)×R²
    abs(0.81607778-0.80994186)×0.00110300643878899×R²
    0.00613591999999996×0.00110300643878899×6371000²
    0.00613591999999996×0.00110300643878899×40589641000000     		ar = 51090329.1425187m²