Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 645 / 131
↖ ↑ ↗
← N 78.971386°
E 46.757813°		 ← 7 478.26 m → N 78.971386°
E 47.109375°		 →
↑
7 500.83 m
↓
↑
7 500.83 m
↓
N 78.903929°
E 46.757813°		 ← 7 523.43 m →
56 262 578 m²		 N 78.903929°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63037109375 y=0.12841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63037109375 × 210)
    floor (0.63037109375 × 1024)
    floor (645.5)     		tx = 645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12841796875 × 210)
    floor (0.12841796875 × 1024)
    floor (131.5)     		ty = 131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 645 / 131 ti = "10/645/131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/645/131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 645 ÷ 210
    645 ÷ 1024     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 131 ÷ 210
    131 ÷ 1024     		y = 0.1279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1279296875 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3377867206709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3377867206709))-π/2
    2×atan(10.3582853944792)-π/2
    2×1.47455351304601-π/2
    2.94910702609201-1.57079632675     		φ = 1.37831070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37831070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.971386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 645 KachelY 131 0.81607778 1.37831070 46.757813 78.971386
    Oben rechts KachelX + 1 646 KachelY 131 0.82221370 1.37831070 47.109375 78.971386
    Unten links KachelX 645 KachelY + 1 132 0.81607778 1.37713336 46.757813 78.903929
    Unten rechts KachelX + 1 646 KachelY + 1 132 0.82221370 1.37713336 47.109375 78.903929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37831070-1.37713336) × R
    0.00117734000000014 × 6371000     		dl = 7500.83314000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37831070-1.37713336) × R
    0.00117734000000014 × 6371000     		dr = 7500.83314000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.82221370) × cos(1.37831070) × R
    0.00613592000000007 × 0.191299205085577 × 6371000     		do = 7478.25825626415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.82221370) × cos(1.37713336) × R
    0.00613592000000007 × 0.192454668849152 × 6371000     		du = 7523.42758368453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37831070)-sin(1.37713336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191299205085577-0.192454668849152)×R²
    abs(0.82221370-0.81607778)×0.00115546376357503×R²
    0.00613592000000007×0.00115546376357503×6371000²
    0.00613592000000007×0.00115546376357503×40589641000000     		ar = 56262577.651014m²