Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 645 / 389
↖ ↑ ↗
← N 39.639537°
E 46.757813°		 ← 30.104 km → N 39.639537°
E 47.109375°		 →
↑
30.163 km
↓
↑
30.163 km
↓
N 39.368279°
E 46.757813°		 ← 30.221 km →
909.780 km²		 N 39.368279°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63037109375 y=0.38037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63037109375 × 210)
    floor (0.63037109375 × 1024)
    floor (645.5)     		tx = 645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38037109375 × 210)
    floor (0.38037109375 × 1024)
    floor (389.5)     		ty = 389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 645 / 389 ti = "10/645/389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/645/389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 645 ÷ 210
    645 ÷ 1024     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 389 ÷ 210
    389 ÷ 1024     		y = 0.3798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754718547618164))-π/2
    2×atan(2.12701278628637)-π/2
    2×1.13131838562223-π/2
    2.26263677124446-1.57079632675     		φ = 0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 645 KachelY 389 0.81607778 0.69184044 46.757813 39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 646 KachelY 389 0.82221370 0.69184044 47.109375 39.639537
    Unten links KachelX 645 KachelY + 1 390 0.81607778 0.68710609 46.757813 39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 646 KachelY + 1 390 0.82221370 0.68710609 47.109375 39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69184044-0.68710609) × R
    0.00473435 × 6371000     		dl = 30162.54385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69184044-0.68710609) × R
    0.00473435 × 6371000     		dr = 30162.54385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.82221370) × cos(0.69184044) × R
    0.00613592000000007 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 30103.6602350817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.82221370) × cos(0.68710609) × R
    0.00613592000000007 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 30221.3920145504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69184044)-sin(0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.773084864262395)×R²
    abs(0.82221370-0.81607778)×0.00301166328493885×R²
    0.00613592000000007×0.00301166328493885×6371000²
    0.00613592000000007×0.00301166328493885×40589641000000     		ar = 909780216.190271m²