Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 645 / 901
↖ ↑ ↗
← S 79.496652°
E 46.757813°		 ← 7 126.19 m → S 79.496652°
E 47.109375°		 →
↑
7 104.75 m
↓
↑
7 104.75 m
↓
S 79.560546°
E 46.757813°		 ← 7 083.32 m →
50 477 488 m²		 S 79.560546°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63037109375 y=0.88037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63037109375 × 210)
    floor (0.63037109375 × 1024)
    floor (645.5)     		tx = 645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88037109375 × 210)
    floor (0.88037109375 × 1024)
    floor (901.5)     		ty = 901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 645 / 901 ti = "10/645/901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/645/901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 645 ÷ 210
    645 ÷ 1024     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 901 ÷ 210
    901 ÷ 1024     		y = 0.8798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8798828125 × 2 - 1) × π
    -0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38687410588184))-π/2
    2×atan(0.0919165567008311)-π/2
    2×0.0916590039868273-π/2
    0.183318007973655-1.57079632675     		φ = -1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 645 KachelY 901 0.81607778 -1.38747832 46.757813 -79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 646 KachelY 901 0.82221370 -1.38747832 47.109375 -79.496652
    Unten links KachelX 645 KachelY + 1 902 0.81607778 -1.38859349 46.757813 -79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 646 KachelY + 1 902 0.82221370 -1.38859349 47.109375 -79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38747832--1.38859349) × R
    0.00111517000000005 × 6371000     		dl = 7104.74807000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38747832--1.38859349) × R
    0.00111517000000005 × 6371000     		dr = 7104.74807000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.82221370) × cos(-1.38747832) × R
    0.00613592000000007 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 7126.18746730143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.82221370) × cos(-1.38859349) × R
    0.00613592000000007 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 7083.31933197319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38747832)-sin(-1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.181196384390541)×R²
    abs(0.82221370-0.81607778)×0.00109659762083272×R²
    0.00613592000000007×0.00109659762083272×6371000²
    0.00613592000000007×0.00109659762083272×40589641000000     		ar = 50477488.2350717m²