Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64511 / 68607
↖ ↑ ↗
← S  8.404451°
W  2.815246°		 ← 302.08 m → S  8.404451°
W  2.812500°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.407168°
W  2.815246°		 ← 302.08 m →
91 282 m²		 S  8.407168°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492183685302734 y=0.523433685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492183685302734 × 217)
    floor (0.492183685302734 × 131072)
    floor (64511.5)     		tx = 64511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523433685302734 × 217)
    floor (0.523433685302734 × 131072)
    floor (68607.5)     		ty = 68607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64511 / 68607 ti = "17/64511/68607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64511/68607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64511 ÷ 217
    64511 ÷ 131072     		x = 0.492179870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68607 ÷ 217
    68607 ÷ 131072     		y = 0.523429870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492179870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0156402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04913532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523429870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0468597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.147214218733192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04913532} λ = -0.04913532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147214218733192))-π/2
    2×atan(0.863109063480826)-π/2
    2×0.712055491756795-π/2
    1.42411098351359-1.57079632675     		φ = -0.14668534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04913532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.815246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14668534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.404451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64511 KachelY 68607 -0.04913532 -0.14668534 -2.815246 -8.404451
    Oben rechts KachelX + 1 64512 KachelY 68607 -0.04908739 -0.14668534 -2.812500 -8.404451
    Unten links KachelX 64511 KachelY + 1 68608 -0.04913532 -0.14673277 -2.815246 -8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 64512 KachelY + 1 68608 -0.04908739 -0.14673277 -2.812500 -8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14668534--0.14673277) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dl = 302.176530000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14668534--0.14673277) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dr = 302.176530000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04913532--0.04908739) × cos(-0.14668534) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989260981834622 × 6371000     		do = 302.082741612823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04913532--0.04908739) × cos(-0.14673277) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 302.080624392604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14668534)-sin(-0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989260981834622-0.989254048358907)×R²
    abs(-0.04908739--0.04913532)×6.93347571500968e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.93347571500968e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.93347571500968e-06×40589641000000     		ar = 91281.9947634765m²