Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64511 / 68609
↖ ↑ ↗
← S  8.409885°
W  2.815246°		 ← 302.08 m → S  8.409885°
W  2.812500°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.412602°
W  2.815246°		 ← 302.08 m →
91 261 m²		 S  8.412602°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492183685302734 y=0.523448944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492183685302734 × 217)
    floor (0.492183685302734 × 131072)
    floor (64511.5)     		tx = 64511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523448944091797 × 217)
    floor (0.523448944091797 × 131072)
    floor (68609.5)     		ty = 68609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64511 / 68609 ti = "17/64511/68609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64511/68609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64511 ÷ 217
    64511 ÷ 131072     		x = 0.492179870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68609 ÷ 217
    68609 ÷ 131072     		y = 0.523445129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492179870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0156402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04913532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523445129394531 × 2 - 1) × π
    -0.0468902587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.147310092532433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04913532} λ = -0.04913532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147310092532433))-π/2
    2×atan(0.863026317902382)-π/2
    2×0.712008069984764-π/2
    1.42401613996953-1.57079632675     		φ = -0.14678019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04913532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.815246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14678019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.409885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64511 KachelY 68609 -0.04913532 -0.14678019 -2.815246 -8.409885
    Oben rechts KachelX + 1 64512 KachelY 68609 -0.04908739 -0.14678019 -2.812500 -8.409885
    Unten links KachelX 64511 KachelY + 1 68610 -0.04913532 -0.14682761 -2.815246 -8.412602
    Unten rechts KachelX + 1 64512 KachelY + 1 68610 -0.04908739 -0.14682761 -2.812500 -8.412602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14678019--0.14682761) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14678019--0.14682761) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04913532--0.04908739) × cos(-0.14678019) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989247114120298 × 6371000     		do = 302.078506939426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04913532--0.04908739) × cos(-0.14682761) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989240177657213 × 6371000     		du = 302.076388806977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14678019)-sin(-0.14682761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989247114120298-0.989240177657213)×R²
    abs(-0.04908739--0.04913532)×6.9364630854718e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.9364630854718e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.9364630854718e-06×40589641000000     		ar = 91261.4696524593m²