Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64513 / 64511
↖ ↑ ↗
← N  2.814114°
W  2.809754°		 ← 305.06 m → N  2.814114°
W  2.807007°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.811371°
W  2.809754°		 ← 305.06 m →
93 056 m²		 N  2.811371°
W  2.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492198944091797 y=0.492183685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492198944091797 × 217)
    floor (0.492198944091797 × 131072)
    floor (64513.5)     		tx = 64513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492183685302734 × 217)
    floor (0.492183685302734 × 131072)
    floor (64511.5)     		ty = 64511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64513 / 64511 ti = "17/64513/64511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64513/64511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64513 ÷ 217
    64513 ÷ 131072     		x = 0.492195129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64511 ÷ 217
    64511 ÷ 131072     		y = 0.492179870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492195129394531 × 2 - 1) × π
    -0.0156097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04903945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492179870605469 × 2 - 1) × π
    0.0156402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0491353221105576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04903945} λ = -0.04903945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0491353221105576))-π/2
    2×atan(1.05036247839073)-π/2
    2×0.809955944880198-π/2
    1.6199118897604-1.57079632675     		φ = 0.04911556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04903945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.809754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04911556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.814114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64513 KachelY 64511 -0.04903945 0.04911556 -2.809754 2.814114
    Oben rechts KachelX + 1 64514 KachelY 64511 -0.04899151 0.04911556 -2.807007 2.814114
    Unten links KachelX 64513 KachelY + 1 64512 -0.04903945 0.04906768 -2.809754 2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 64514 KachelY + 1 64512 -0.04899151 0.04906768 -2.807007 2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04911556-0.04906768) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04911556-0.04906768) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04903945--0.04899151) × cos(0.04911556) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998794073337436 × 6371000     		do = 305.057418956677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04903945--0.04899151) × cos(0.04906768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 305.058136573623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04911556)-sin(0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998794073337436-0.9987964229002)×R²
    abs(-0.04899151--0.04903945)×2.34956276401466e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.34956276401466e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34956276401466e-06×40589641000000     		ar = 93055.8861483294m²