Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64514 / 68610
↖ ↑ ↗
← S  8.412602°
W  2.807007°		 ← 302.14 m → S  8.412602°
W  2.804260°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.415319°
W  2.807007°		 ← 302.14 m →
91 280 m²		 S  8.415319°
W  2.804260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492206573486328 y=0.523456573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492206573486328 × 217)
    floor (0.492206573486328 × 131072)
    floor (64514.5)     		tx = 64514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523456573486328 × 217)
    floor (0.523456573486328 × 131072)
    floor (68610.5)     		ty = 68610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64514 / 68610 ti = "17/64514/68610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64514/68610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64514 ÷ 217
    64514 ÷ 131072     		x = 0.492202758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68610 ÷ 217
    68610 ÷ 131072     		y = 0.523452758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.015594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04899151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523452758789062 × 2 - 1) × π
    -0.046905517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.147358029432053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04899151} λ = -0.04899151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147358029432053))-π/2
    2×atan(0.862984948087989)-π/2
    2×0.711984359348074-π/2
    1.42396871869615-1.57079632675     		φ = -0.14682761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04899151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14682761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.412602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64514 KachelY 68610 -0.04899151 -0.14682761 -2.807007 -8.412602
    Oben rechts KachelX + 1 64515 KachelY 68610 -0.04894357 -0.14682761 -2.804260 -8.412602
    Unten links KachelX 64514 KachelY + 1 68611 -0.04899151 -0.14687503 -2.807007 -8.415319
    Unten rechts KachelX + 1 64515 KachelY + 1 68611 -0.04894357 -0.14687503 -2.804260 -8.415319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14682761--0.14687503) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14682761--0.14687503) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04899151--0.04894357) × cos(-0.14682761) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989240177657213 × 6371000     		do = 302.139413298706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04899151--0.04894357) × cos(-0.14687503) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989233238969666 × 6371000     		du = 302.137294044928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14682761)-sin(-0.14687503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989240177657213-0.989233238969666)×R²
    abs(-0.04894357--0.04899151)×6.93868754686466e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.93868754686466e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.93868754686466e-06×40589641000000     		ar = 91279.8700750484m²