Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64520 / 66568
↖ ↑ ↗
← S  2.833317°
W  2.790527°		 ← 305.05 m → S  2.833317°
W  2.787781°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.836060°
W  2.790527°		 ← 305.05 m →
93 054 m²		 S  2.836060°
W  2.787781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492252349853516 y=0.507877349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492252349853516 × 217)
    floor (0.492252349853516 × 131072)
    floor (64520.5)     		tx = 64520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507877349853516 × 217)
    floor (0.507877349853516 × 131072)
    floor (66568.5)     		ty = 66568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64520 / 66568 ti = "17/64520/66568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64520/66568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64520 ÷ 217
    64520 ÷ 131072     		x = 0.49224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66568 ÷ 217
    66568 ÷ 131072     		y = 0.50787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.0157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.049470880407898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04870389} λ = -0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.049470880407898))-π/2
    2×atan(0.951732871805972)-π/2
    2×0.760672806478904-π/2
    1.52134561295781-1.57079632675     		φ = -0.04945071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04945071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.833317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64520 KachelY 66568 -0.04870389 -0.04945071 -2.790527 -2.833317
    Oben rechts KachelX + 1 64521 KachelY 66568 -0.04865595 -0.04945071 -2.787781 -2.833317
    Unten links KachelX 64520 KachelY + 1 66569 -0.04870389 -0.04949859 -2.790527 -2.836060
    Unten rechts KachelX + 1 64521 KachelY + 1 66569 -0.04865595 -0.04949859 -2.787781 -2.836060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04945071--0.04949859) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04945071--0.04949859) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04870389--0.04865595) × cos(-0.04945071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998777562780262 × 6371000     		do = 305.052376207534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04870389--0.04865595) × cos(-0.04949859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998775194900289 × 6371000     		du = 305.051652996041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04945071)-sin(-0.04949859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998777562780262-0.998775194900289)×R²
    abs(-0.04865595--0.04870389)×2.36787997298649e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.36787997298649e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36787997298649e-06×40589641000000     		ar = 93054.1281329094m²