Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6464 / 10561
↖ ↑ ↗
← S 46.088472°
W 37.968750°		 ← 1 694.48 m → S 46.088472°
W 37.946778°		 →
↑
1 694.30 m
↓
↑
1 694.30 m
↓
S 46.103709°
W 37.968750°		 ← 1 694.02 m →
2 870 574 m²		 S 46.103709°
W 37.946778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394561767578125 y=0.644622802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394561767578125 × 214)
    floor (0.394561767578125 × 16384)
    floor (6464.5)     		tx = 6464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644622802734375 × 214)
    floor (0.644622802734375 × 16384)
    floor (10561.5)     		ty = 10561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6464 / 10561 ti = "14/6464/10561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6464/10561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6464 ÷ 214
    6464 ÷ 16384     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10561 ÷ 214
    10561 ÷ 16384     		y = 0.64459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.2891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.908500121599304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908500121599304))-π/2
    2×atan(0.403128414415806)-π/2
    2×0.383200373382036-π/2
    0.766400746764072-1.57079632675     		φ = -0.80439558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80439558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.088472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6464 KachelY 10561 -0.66267970 -0.80439558 -37.968750 -46.088472
    Oben rechts KachelX + 1 6465 KachelY 10561 -0.66229621 -0.80439558 -37.946778 -46.088472
    Unten links KachelX 6464 KachelY + 1 10562 -0.66267970 -0.80466152 -37.968750 -46.103709
    Unten rechts KachelX + 1 6465 KachelY + 1 10562 -0.66229621 -0.80466152 -37.946778 -46.103709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80439558--0.80466152) × R
    0.00026594000000002 × 6371000     		dl = 1694.30374000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80439558--0.80466152) × R
    0.00026594000000002 × 6371000     		dr = 1694.30374000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66229621) × cos(-0.80439558) × R
    0.000383489999999931 × 0.693546792847638 × 6371000     		do = 1694.48378184211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66229621) × cos(-0.80466152) × R
    0.000383489999999931 × 0.693355182068798 × 6371000     		du = 1694.01563555332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80439558)-sin(-0.80466152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693546792847638-0.693355182068798)×R²
    abs(-0.66229621--0.66267970)×0.000191610778840334×R²
    0.000383489999999931×0.000191610778840334×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191610778840334×40589641000000     		ar = 2870573.63486043m²