Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6464 / 11072
↖ ↑ ↗
← S 53.330873°
W 37.968750°		 ← 1 459.07 m → S 53.330873°
W 37.946778°		 →
↑
1 458.83 m
↓
↑
1 458.83 m
↓
S 53.343993°
W 37.968750°		 ← 1 458.62 m →
2 128 211 m²		 S 53.343993°
W 37.946778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394561767578125 y=0.675811767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394561767578125 × 214)
    floor (0.394561767578125 × 16384)
    floor (6464.5)     		tx = 6464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675811767578125 × 214)
    floor (0.675811767578125 × 16384)
    floor (11072.5)     		ty = 11072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6464 / 11072 ti = "14/6464/11072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6464/11072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6464 ÷ 214
    6464 ÷ 16384     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11072 ÷ 214
    11072 ÷ 16384     		y = 0.67578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67578125 × 2 - 1) × π
    -0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10446616724609))-π/2
    2×atan(0.33138774066158)-π/2
    2×0.319998500148606-π/2
    0.639997000297211-1.57079632675     		φ = -0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6464 KachelY 11072 -0.66267970 -0.93079933 -37.968750 -53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 6465 KachelY 11072 -0.66229621 -0.93079933 -37.946778 -53.330873
    Unten links KachelX 6464 KachelY + 1 11073 -0.66267970 -0.93102831 -37.968750 -53.343993
    Unten rechts KachelX + 1 6465 KachelY + 1 11073 -0.66229621 -0.93102831 -37.946778 -53.343993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93079933--0.93102831) × R
    0.000228979999999934 × 6371000     		dl = 1458.83157999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93079933--0.93102831) × R
    0.000228979999999934 × 6371000     		dr = 1458.83157999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66229621) × cos(-0.93079933) × R
    0.000383489999999931 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 1459.07084949266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66229621) × cos(-0.93102831) × R
    0.000383489999999931 × 0.59700935254995 × 6371000     		du = 1458.6220799181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93079933)-sin(-0.93102831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.59700935254995)×R²
    abs(-0.66229621--0.66267970)×0.00018367995167512×R²
    0.000383489999999931×0.00018367995167512×6371000²
    0.000383489999999931×0.00018367995167512×40589641000000     		ar = 2128211.3023815m²