Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 647 / 905
↖ ↑ ↗
← S 79.749932°
E 47.460938°		 ← 6 956.21 m → S 79.749932°
E 47.812500°		 →
↑
6 935.28 m
↓
↑
6 935.28 m
↓
S 79.812302°
E 47.460938°		 ← 6 914.33 m →
48 098 010 m²		 S 79.812302°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63232421875 y=0.88427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63232421875 × 210)
    floor (0.63232421875 × 1024)
    floor (647.5)     		tx = 647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88427734375 × 210)
    floor (0.88427734375 × 1024)
    floor (905.5)     		ty = 905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 647 / 905 ti = "10/647/905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/647/905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 647 ÷ 210
    647 ÷ 1024     		x = 0.6318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 905 ÷ 210
    905 ÷ 1024     		y = 0.8837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6318359375 × 2 - 1) × π
    0.263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82834963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8837890625 × 2 - 1) × π
    -0.767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4114177984873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82834963} λ = 0.82834963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4114177984873))-π/2
    2×atan(0.089688044812041)-π/2
    2×0.0894487169274638-π/2
    0.178897433854928-1.57079632675     		φ = -1.39189889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82834963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39189889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.749932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 647 KachelY 905 0.82834963 -1.39189889 47.460938 -79.749932
    Oben rechts KachelX + 1 648 KachelY 905 0.83448555 -1.39189889 47.812500 -79.749932
    Unten links KachelX 647 KachelY + 1 906 0.82834963 -1.39298746 47.460938 -79.812302
    Unten rechts KachelX + 1 648 KachelY + 1 906 0.83448555 -1.39298746 47.812500 -79.812302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39189889--1.39298746) × R
    0.00108857000000007 × 6371000     		dl = 6935.27947000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39189889--1.39298746) × R
    0.00108857000000007 × 6371000     		dr = 6935.27947000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82834963-0.83448555) × cos(-1.39189889) × R
    0.00613592000000007 × 0.177944714972114 × 6371000     		do = 6956.20524561767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82834963-0.83448555) × cos(-1.39298746) × R
    0.00613592000000007 × 0.17687341280078 × 6371000     		du = 6914.32595864338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39189889)-sin(-1.39298746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177944714972114-0.17687341280078)×R²
    abs(0.83448555-0.82834963)×0.001071302171334×R²
    0.00613592000000007×0.001071302171334×6371000²
    0.00613592000000007×0.001071302171334×40589641000000     		ar = 48098009.8990736m²