Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64768 / 68864
↖ ↑ ↗
← S  9.102097°
W  2.109375°		 ← 301.58 m → S  9.102097°
W  2.106628°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.104809°
W  2.109375°		 ← 301.58 m →
90 938 m²		 S  9.104809°
W  2.106628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494144439697266 y=0.525394439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494144439697266 × 217)
    floor (0.494144439697266 × 131072)
    floor (64768.5)     		tx = 64768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525394439697266 × 217)
    floor (0.525394439697266 × 131072)
    floor (68864.5)     		ty = 68864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64768 / 68864 ti = "17/64768/68864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64768/68864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64768 ÷ 217
    64768 ÷ 131072     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68864 ÷ 217
    68864 ÷ 131072     		y = 0.525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525390625 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159534001935547))-π/2
    2×atan(0.852540978860179)-π/2
    2×0.705967384936792-π/2
    1.41193476987358-1.57079632675     		φ = -0.15886156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15886156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.102097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64768 KachelY 68864 -0.03681554 -0.15886156 -2.109375 -9.102097
    Oben rechts KachelX + 1 64769 KachelY 68864 -0.03676760 -0.15886156 -2.106628 -9.102097
    Unten links KachelX 64768 KachelY + 1 68865 -0.03681554 -0.15890889 -2.109375 -9.104809
    Unten rechts KachelX + 1 64769 KachelY + 1 68865 -0.03676760 -0.15890889 -2.106628 -9.104809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15886156--0.15890889) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dl = 301.5394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15886156--0.15890889) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dr = 301.5394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03676760) × cos(-0.15886156) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.987408017809851 × 6371000     		do = 301.579824521527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03676760) × cos(-0.15890889) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.98740052937219 × 6371000     		du = 301.577537359913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15886156)-sin(-0.15890889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987408017809851-0.98740052937219)×R²
    abs(-0.03676760--0.03681554)×7.48843766096297e-06×R²
    4.79400000000033e-05×7.48843766096297e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×7.48843766096297e-06×40589641000000     		ar = 90937.8635679785m²