Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 648 / 120
↖ ↑ ↗
← N 79.687184°
E 47.812500°		 ← 6 998.33 m → N 79.687184°
E 48.164062°		 →
↑
7 019.50 m
↓
↑
7 019.50 m
↓
N 79.624057°
E 47.812500°		 ← 7 040.70 m →
49 273 518 m²		 N 79.624057°
E 48.164062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63330078125 y=0.11767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63330078125 × 210)
    floor (0.63330078125 × 1024)
    floor (648.5)     		tx = 648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11767578125 × 210)
    floor (0.11767578125 × 1024)
    floor (120.5)     		ty = 120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 648 / 120 ti = "10/648/120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/648/120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 648 ÷ 210
    648 ÷ 1024     		x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120 ÷ 210
    120 ÷ 1024     		y = 0.1171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1171875 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40528187533594))-π/2
    2×atan(11.0815534585964)-π/2
    2×1.48080003096091-π/2
    2.96160006192181-1.57079632675     		φ = 1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 648 KachelY 120 0.83448555 1.39080374 47.812500 79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 649 KachelY 120 0.84062147 1.39080374 48.164062 79.687184
    Unten links KachelX 648 KachelY + 1 121 0.83448555 1.38970195 47.812500 79.624057
    Unten rechts KachelX + 1 649 KachelY + 1 121 0.84062147 1.38970195 48.164062 79.624057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39080374-1.38970195) × R
    0.00110178999999988 × 6371000     		dl = 7019.50408999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39080374-1.38970195) × R
    0.00110178999999988 × 6371000     		dr = 7019.50408999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.84062147) × cos(1.39080374) × R
    0.00613591999999996 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 6998.32935928967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.84062147) × cos(1.38970195) × R
    0.00613591999999996 × 0.180106161709778 × 6371000     		du = 7040.70040545983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39080374)-sin(1.38970195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.180106161709778)×R²
    abs(0.84062147-0.83448555)×0.00108388172395715×R²
    0.00613591999999996×0.00108388172395715×6371000²
    0.00613591999999996×0.00108388172395715×40589641000000     		ar = 49273518.4112454m²