Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 649 / 391
↖ ↑ ↗
← N 39.095963°
E 48.164062°		 ← 30.339 km → N 39.095963°
E 48.515625°		 →
↑
30.398 km
↓
↑
30.398 km
↓
N 38.822591°
E 48.164062°		 ← 30.456 km →
924.013 km²		 N 38.822591°
E 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63427734375 y=0.38232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63427734375 × 210)
    floor (0.63427734375 × 1024)
    floor (649.5)     		tx = 649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38232421875 × 210)
    floor (0.38232421875 × 1024)
    floor (391.5)     		ty = 391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 649 / 391 ti = "10/649/391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/649/391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 649 ÷ 210
    649 ÷ 1024     		x = 0.6337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 391 ÷ 210
    391 ÷ 1024     		y = 0.3818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6337890625 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84062147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    0.236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.74244670131543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84062147} λ = 0.84062147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74244670131543))-π/2
    2×atan(2.10106992129331)-π/2
    2×1.12657480212731-π/2
    2.25314960425463-1.57079632675     		φ = 0.68235328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84062147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.164062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68235328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.095963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 649 KachelY 391 0.84062147 0.68235328 48.164062 39.095963
    Oben rechts KachelX + 1 650 KachelY 391 0.84675739 0.68235328 48.515625 39.095963
    Unten links KachelX 649 KachelY + 1 392 0.84062147 0.67758204 48.164062 38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 650 KachelY + 1 392 0.84675739 0.67758204 48.515625 38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68235328-0.67758204) × R
    0.00477123999999995 × 6371000     		dl = 30397.5700399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68235328-0.67758204) × R
    0.00477123999999995 × 6371000     		dr = 30397.5700399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84062147-0.84675739) × cos(0.68235328) × R
    0.00613592000000007 × 0.776090840999745 × 6371000     		do = 30338.9014958061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84062147-0.84675739) × cos(0.67758204) × R
    0.00613592000000007 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 30456.1773191217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68235328)-sin(0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776090840999745-0.779090840599552)×R²
    abs(0.84675739-0.84062147)×0.0029999995998069×R²
    0.00613592000000007×0.0029999995998069×6371000²
    0.00613592000000007×0.0029999995998069×40589641000000     		ar = 924013086.091812m²