Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 650 / 138
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
E 48.515625°		 ← 7 800.01 m → N 78.490552°
E 48.867188°		 →
↑
7 823.52 m
↓
↑
7 823.52 m
↓
N 78.420193°
E 48.515625°		 ← 7 847.04 m →
61 207 560 m²		 N 78.420193°
E 48.867188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63525390625 y=0.13525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63525390625 × 210)
    floor (0.63525390625 × 1024)
    floor (650.5)     		tx = 650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13525390625 × 210)
    floor (0.13525390625 × 1024)
    floor (138.5)     		ty = 138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 650 / 138 ti = "10/650/138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/650/138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 650 ÷ 210
    650 ÷ 1024     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 138 ÷ 210
    138 ÷ 1024     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 650 KachelY 138 0.84675739 1.36991856 48.515625 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 651 KachelY 138 0.85289332 1.36991856 48.867188 78.490552
    Unten links KachelX 650 KachelY + 1 139 0.84675739 1.36869057 48.515625 78.420193
    Unten rechts KachelX + 1 651 KachelY + 1 139 0.85289332 1.36869057 48.867188 78.420193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36869057) × R
    0.00122798999999985 × 6371000     		dl = 7823.52428999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36869057) × R
    0.00122798999999985 × 6371000     		dr = 7823.52428999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.85289332) × cos(1.36991856) × R
    0.0061359299999999 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 7800.01015538819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.85289332) × cos(1.36869057) × R
    0.0061359299999999 × 0.200732670654823 × 6371000     		du = 7847.04357458692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36869057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.200732670654823)×R²
    abs(0.85289332-0.84675739)×0.00120314660624082×R²
    0.0061359299999999×0.00120314660624082×6371000²
    0.0061359299999999×0.00120314660624082×40589641000000     		ar = 61207560.1532582m²