Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 650 / 906
↖ ↑ ↗
← S 79.812302°
E 48.515625°		 ← 6 914.34 m → S 79.812302°
E 48.867188°		 →
↑
6 893.49 m
↓
↑
6 893.49 m
↓
S 79.874297°
E 48.515625°		 ← 6 872.70 m →
47 520 384 m²		 S 79.874297°
E 48.867188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63525390625 y=0.88525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63525390625 × 210)
    floor (0.63525390625 × 1024)
    floor (650.5)     		tx = 650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88525390625 × 210)
    floor (0.88525390625 × 1024)
    floor (906.5)     		ty = 906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 650 / 906 ti = "10/650/906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/650/906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 650 ÷ 210
    650 ÷ 1024     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 906 ÷ 210
    906 ÷ 1024     		y = 0.884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884765625 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41755372163867))-π/2
    2×atan(0.0891394107709529)-π/2
    2×0.0889044343380513-π/2
    0.177808868676103-1.57079632675     		φ = -1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 650 KachelY 906 0.84675739 -1.39298746 48.515625 -79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 651 KachelY 906 0.85289332 -1.39298746 48.867188 -79.812302
    Unten links KachelX 650 KachelY + 1 907 0.84675739 -1.39406947 48.515625 -79.874297
    Unten rechts KachelX + 1 651 KachelY + 1 907 0.85289332 -1.39406947 48.867188 -79.874297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39298746--1.39406947) × R
    0.00108200999999997 × 6371000     		dl = 6893.48570999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39298746--1.39406947) × R
    0.00108200999999997 × 6371000     		dr = 6893.48570999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.85289332) × cos(-1.39298746) × R
    0.0061359299999999 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 6914.33722724831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.85289332) × cos(-1.39406947) × R
    0.0061359299999999 × 0.175808358865107 × 6371000     		du = 6872.70212811251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39298746)-sin(-1.39406947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.175808358865107)×R²
    abs(0.85289332-0.84675739)×0.00106505393567258×R²
    0.0061359299999999×0.00106505393567258×6371000²
    0.0061359299999999×0.00106505393567258×40589641000000     		ar = 47520384.0258804m²