Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 652 / 124
↖ ↑ ↗
← N 79.432371°
E 49.218750°		 ← 7 169.31 m → N 79.432371°
E 49.570312°		 →
↑
7 190.95 m
↓
↑
7 190.95 m
↓
N 79.367701°
E 49.218750°		 ← 7 212.68 m →
51 710 047 m²		 N 79.367701°
E 49.570312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63720703125 y=0.12158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63720703125 × 210)
    floor (0.63720703125 × 1024)
    floor (652.5)     		tx = 652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12158203125 × 210)
    floor (0.12158203125 × 1024)
    floor (124.5)     		ty = 124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 652 / 124 ti = "10/652/124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/652/124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 652 ÷ 210
    652 ÷ 1024     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 124 ÷ 210
    124 ÷ 1024     		y = 0.12109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12109375 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38073818273047))-π/2
    2×atan(10.8128818012243)-π/2
    2×1.4785763645972-π/2
    2.9571527291944-1.57079632675     		φ = 1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 652 KachelY 124 0.85902924 1.38635640 49.218750 79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 653 KachelY 124 0.86516516 1.38635640 49.570312 79.432371
    Unten links KachelX 652 KachelY + 1 125 0.85902924 1.38522770 49.218750 79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 653 KachelY + 1 125 0.86516516 1.38522770 49.570312 79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38635640-1.38522770) × R
    0.00112869999999998 × 6371000     		dl = 7190.94769999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38635640-1.38522770) × R
    0.00112869999999998 × 6371000     		dr = 7190.94769999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.86516516) × cos(1.38635640) × R
    0.00613591999999996 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 7169.30613579705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.86516516) × cos(1.38522770) × R
    0.00613591999999996 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 7212.67627341885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38635640)-sin(1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.184505427649398)×R²
    abs(0.86516516-0.85902924)×0.00110943919923503×R²
    0.00613591999999996×0.00110943919923503×6371000²
    0.00613591999999996×0.00110943919923503×40589641000000     		ar = 51710047.1532082m²