Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6527 / 10113
↖ ↑ ↗
← S 38.839708°
W 36.584472°		 ← 1 903.03 m → S 38.839708°
W 36.562500°		 →
↑
1 902.83 m
↓
↑
1 902.83 m
↓
S 38.856820°
W 36.584472°		 ← 1 902.57 m →
3 620 698 m²		 S 38.856820°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398406982421875 y=0.617279052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398406982421875 × 214)
    floor (0.398406982421875 × 16384)
    floor (6527.5)     		tx = 6527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617279052734375 × 214)
    floor (0.617279052734375 × 16384)
    floor (10113.5)     		ty = 10113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6527 / 10113 ti = "14/6527/10113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6527/10113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6527 ÷ 214
    6527 ÷ 16384     		x = 0.39837646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10113 ÷ 214
    10113 ÷ 16384     		y = 0.61724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63851950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.736694273361023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63851950} λ = -0.63851950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736694273361023))-π/2
    2×atan(0.4786937334859)-π/2
    2×0.446457774221513-π/2
    0.892915548443025-1.57079632675     		φ = -0.67788078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63851950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.584472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67788078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.839708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6527 KachelY 10113 -0.63851950 -0.67788078 -36.584472 -38.839708
    Oben rechts KachelX + 1 6528 KachelY 10113 -0.63813601 -0.67788078 -36.562500 -38.839708
    Unten links KachelX 6527 KachelY + 1 10114 -0.63851950 -0.67817945 -36.584472 -38.856820
    Unten rechts KachelX + 1 6528 KachelY + 1 10114 -0.63813601 -0.67817945 -36.562500 -38.856820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67788078--0.67817945) × R
    0.000298670000000056 × 6371000     		dl = 1902.82657000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67788078--0.67817945) × R
    0.000298670000000056 × 6371000     		dr = 1902.82657000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63851950--0.63813601) × cos(-0.67788078) × R
    0.000383490000000042 × 0.778903522430651 × 6371000     		do = 1903.02860598587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63851950--0.63813601) × cos(-0.67817945) × R
    0.000383490000000042 × 0.778716178664396 × 6371000     		du = 1902.57088492534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67788078)-sin(-0.67817945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778903522430651-0.778716178664396)×R²
    abs(-0.63813601--0.63851950)×0.000187343766254955×R²
    0.000383490000000042×0.000187343766254955×6371000²
    0.000383490000000042×0.000187343766254955×40589641000000     		ar = 3620697.93995669m²