Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6527 / 10625
↖ ↑ ↗
← S 47.055154°
W 36.584472°		 ← 1 664.55 m → S 47.055154°
W 36.562500°		 →
↑
1 664.36 m
↓
↑
1 664.36 m
↓
S 47.070122°
W 36.584472°		 ← 1 664.08 m →
2 770 018 m²		 S 47.070122°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398406982421875 y=0.648529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398406982421875 × 214)
    floor (0.398406982421875 × 16384)
    floor (6527.5)     		tx = 6527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648529052734375 × 214)
    floor (0.648529052734375 × 16384)
    floor (10625.5)     		ty = 10625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6527 / 10625 ti = "14/6527/10625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6527/10625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6527 ÷ 214
    6527 ÷ 16384     		x = 0.39837646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10625 ÷ 214
    10625 ÷ 16384     		y = 0.64849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63851950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.933043814204773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63851950} λ = -0.63851950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933043814204773))-π/2
    2×atan(0.393354588061988)-π/2
    2×0.374764478993884-π/2
    0.749528957987769-1.57079632675     		φ = -0.82126737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63851950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.584472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82126737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.055154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6527 KachelY 10625 -0.63851950 -0.82126737 -36.584472 -47.055154
    Oben rechts KachelX + 1 6528 KachelY 10625 -0.63813601 -0.82126737 -36.562500 -47.055154
    Unten links KachelX 6527 KachelY + 1 10626 -0.63851950 -0.82152861 -36.584472 -47.070122
    Unten rechts KachelX + 1 6528 KachelY + 1 10626 -0.63813601 -0.82152861 -36.562500 -47.070122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82126737--0.82152861) × R
    0.00026123999999994 × 6371000     		dl = 1664.36003999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82126737--0.82152861) × R
    0.00026123999999994 × 6371000     		dr = 1664.36003999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63851950--0.63813601) × cos(-0.82126737) × R
    0.000383490000000042 × 0.681294027344564 × 6371000     		do = 1664.54764394709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63851950--0.63813601) × cos(-0.82152861) × R
    0.000383490000000042 × 0.681102773840653 × 6371000     		du = 1664.08037055769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82126737)-sin(-0.82152861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681294027344564-0.681102773840653)×R²
    abs(-0.63813601--0.63851950)×0.000191253503911804×R²
    0.000383490000000042×0.000191253503911804×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191253503911804×40589641000000     		ar = 2770017.7434351m²