Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6528 / 1920
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
E106.875000°		 ← 1 778.48 m → N 68.656555°
E106.918945°		 →
↑
1 779.10 m
↓
↑
1 779.10 m
↓
N 68.640555°
E106.875000°		 ← 1 779.75 m →
3 165 221 m²		 N 68.640555°
E106.918945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79693603515625 y=0.23443603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79693603515625 × 213)
    floor (0.79693603515625 × 8192)
    floor (6528.5)     		tx = 6528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23443603515625 × 213)
    floor (0.23443603515625 × 8192)
    floor (1920.5)     		ty = 1920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6528 / 1920 ti = "13/6528/1920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6528/1920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6528 ÷ 213
    6528 ÷ 8192     		x = 0.796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1920 ÷ 213
    1920 ÷ 8192     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.796875 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Λ = 1.86532064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86532064} λ = 1.86532064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86532064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6528 KachelY 1920 1.86532064 1.19828294 106.875000 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 6529 KachelY 1920 1.86608763 1.19828294 106.918945 68.656555
    Unten links KachelX 6528 KachelY + 1 1921 1.86532064 1.19800369 106.875000 68.640555
    Unten rechts KachelX + 1 6529 KachelY + 1 1921 1.86608763 1.19800369 106.918945 68.640555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.19800369) × R
    0.000279249999999953 × 6371000     		dl = 1779.1017499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.19800369) × R
    0.000279249999999953 × 6371000     		dr = 1779.1017499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86532064-1.86608763) × cos(1.19828294) × R
    0.000766990000000023 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 1778.47630454359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86532064-1.86608763) × cos(1.19800369) × R
    0.000766990000000023 × 0.364217670144992 × 6371000     		du = 1779.74720126299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.19800369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.364217670144992)×R²
    abs(1.86608763-1.86532064)×0.000260083590414406×R²
    0.000766990000000023×0.000260083590414406×6371000²
    0.000766990000000023×0.000260083590414406×40589641000000     		ar = 3165220.85360416m²