Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65280 / 65280
↖ ↑ ↗
← N  0.703107°
W  0.703125°		 ← 305.40 m → N  0.703107°
W  0.700378°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.700361°
W  0.703125°		 ← 305.40 m →
93 258 m²		 N  0.700361°
W  0.700378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498050689697266 y=0.498050689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498050689697266 × 217)
    floor (0.498050689697266 × 131072)
    floor (65280.5)     		tx = 65280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498050689697266 × 217)
    floor (0.498050689697266 × 131072)
    floor (65280.5)     		ty = 65280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65280 / 65280 ti = "17/65280/65280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65280/65280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65280 ÷ 217
    65280 ÷ 131072     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65280 ÷ 217
    65280 ÷ 131072     		y = 0.498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498046875 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(1.01234745437557)-π/2
    2×0.791533932544771-π/2
    1.58306786508954-1.57079632675     		φ = 0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65280 KachelY 65280 -0.01227185 0.01227154 -0.703125 0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 65281 KachelY 65280 -0.01222391 0.01227154 -0.700378 0.703107
    Unten links KachelX 65280 KachelY + 1 65281 -0.01227185 0.01222361 -0.703125 0.700361
    Unten rechts KachelX + 1 65281 KachelY + 1 65281 -0.01222391 0.01222361 -0.700378 0.700361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01227154-0.01222361) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01227154-0.01222361) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01222391) × cos(0.01227154) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 305.402743151533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01222391) × cos(0.01222361) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.999925292609501 × 6371000     		du = 305.402922439983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01227154)-sin(0.01222361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-0.999925292609501)×R²
    abs(-0.01222391--0.01227185)×5.87011593777831e-07×R²
    4.79400000000015e-05×5.87011593777831e-07×6371000²
    4.79400000000015e-05×5.87011593777831e-07×40589641000000     		ar = 93258.4290081154m²