Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6529 / 10111
↖ ↑ ↗
← S 38.805470°
W 36.540527°		 ← 1 903.94 m → S 38.805470°
W 36.518555°		 →
↑
1 903.78 m
↓
↑
1 903.78 m
↓
S 38.822591°
W 36.540527°		 ← 1 903.49 m →
3 624 259 m²		 S 38.822591°
W 36.518555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398529052734375 y=0.617156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398529052734375 × 214)
    floor (0.398529052734375 × 16384)
    floor (6529.5)     		tx = 6529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617156982421875 × 214)
    floor (0.617156982421875 × 16384)
    floor (10111.5)     		ty = 10111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6529 / 10111 ti = "14/6529/10111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6529/10111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6529 ÷ 214
    6529 ÷ 16384     		x = 0.39849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10111 ÷ 214
    10111 ÷ 16384     		y = 0.61712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63775251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.735927282967102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63775251} λ = -0.63775251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.735927282967102))-π/2
    2×atan(0.47906102781872)-π/2
    2×0.446756551816111-π/2
    0.893513103632223-1.57079632675     		φ = -0.67728322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63775251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.540527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67728322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.805470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6529 KachelY 10111 -0.63775251 -0.67728322 -36.540527 -38.805470
    Oben rechts KachelX + 1 6530 KachelY 10111 -0.63736902 -0.67728322 -36.518555 -38.805470
    Unten links KachelX 6529 KachelY + 1 10112 -0.63775251 -0.67758204 -36.540527 -38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 6530 KachelY + 1 10112 -0.63736902 -0.67758204 -36.518555 -38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67728322--0.67758204) × R
    0.000298820000000033 × 6371000     		dl = 1903.78222000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67728322--0.67758204) × R
    0.000298820000000033 × 6371000     		dr = 1903.78222000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63775251--0.63736902) × cos(-0.67728322) × R
    0.000383490000000042 × 0.779278139372293 × 6371000     		do = 1903.94387563828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63775251--0.63736902) × cos(-0.67758204) × R
    0.000383490000000042 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 1903.48626450657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67728322)-sin(-0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779278139372293-0.779090840599552)×R²
    abs(-0.63736902--0.63775251)×0.000187298772741151×R²
    0.000383490000000042×0.000187298772741151×6371000²
    0.000383490000000042×0.000187298772741151×40589641000000     		ar = 3624258.92931893m²