Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65472 / 65729
↖ ↑ ↗
← S  0.530083°
W  0.175781°		 ← 305.41 m → S  0.530083°
W  0.173034°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.532829°
W  0.175781°		 ← 305.41 m →
93 261 m²		 S  0.532829°
W  0.173034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499515533447266 y=0.501476287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499515533447266 × 217)
    floor (0.499515533447266 × 131072)
    floor (65472.5)     		tx = 65472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501476287841797 × 217)
    floor (0.501476287841797 × 131072)
    floor (65729.5)     		ty = 65729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65472 / 65729 ti = "17/65472/65729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65472/65729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65472 ÷ 217
    65472 ÷ 131072     		x = 0.49951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65729 ÷ 217
    65729 ÷ 131072     		y = 0.501472473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501472473144531 × 2 - 1) × π
    -0.0029449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00925182162667084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00306796} λ = -0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00925182162667084))-π/2
    2×atan(0.99079084479295)-π/2
    2×0.780772318576101-π/2
    1.5615446371522-1.57079632675     		φ = -0.00925169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00925169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.530083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65472 KachelY 65729 -0.00306796 -0.00925169 -0.175781 -0.530083
    Oben rechts KachelX + 1 65473 KachelY 65729 -0.00302002 -0.00925169 -0.173034 -0.530083
    Unten links KachelX 65472 KachelY + 1 65730 -0.00306796 -0.00929962 -0.175781 -0.532829
    Unten rechts KachelX + 1 65473 KachelY + 1 65730 -0.00302002 -0.00929962 -0.173034 -0.532829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00925169--0.00929962) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00925169--0.00929962) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00306796--0.00302002) × cos(-0.00925169) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999957203421333 × 6371000     		do = 305.41266882329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00306796--0.00302002) × cos(-0.00929962) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999956758845564 × 6371000     		du = 305.412533038407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00925169)-sin(-0.00929962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999957203421333-0.999956758845564)×R²
    abs(-0.00302002--0.00306796)×4.44575768976385e-07×R²
    4.79399999999998e-05×4.44575768976385e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×4.44575768976385e-07×40589641000000     		ar = 93261.4118256775m²