Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 655 / 142
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
E 50.273437°		 ← 7 989.77 m → N 78.206563°
E 50.625000°		 →
↑
8 013.76 m
↓
↑
8 013.76 m
↓
N 78.134493°
E 50.273437°		 ← 8 037.89 m →
64 220 931 m²		 N 78.134493°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64013671875 y=0.13916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64013671875 × 210)
    floor (0.64013671875 × 1024)
    floor (655.5)     		tx = 655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13916015625 × 210)
    floor (0.13916015625 × 1024)
    floor (142.5)     		ty = 142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 655 / 142 ti = "10/655/142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/655/142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 655 ÷ 210
    655 ÷ 1024     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 142 ÷ 210
    142 ÷ 1024     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 655 KachelY 142 0.87743701 1.36496202 50.273437 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 656 KachelY 142 0.88357293 1.36496202 50.625000 78.206563
    Unten links KachelX 655 KachelY + 1 143 0.87743701 1.36370417 50.273437 78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 656 KachelY + 1 143 0.88357293 1.36370417 50.625000 78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36370417) × R
    0.00125785 × 6371000     		dl = 8013.76235000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36370417) × R
    0.00125785 × 6371000     		dr = 8013.76235000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(1.36496202) × R
    0.00613592000000007 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 7989.76547143689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(1.36370417) × R
    0.00613592000000007 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 8037.89296562538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.205615061983061)×R²
    abs(0.88357293-0.87743701)×0.00123113578931369×R²
    0.00613592000000007×0.00123113578931369×6371000²
    0.00613592000000007×0.00123113578931369×40589641000000     		ar = 64220931.3382591m²