Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 655 / 401
↖ ↑ ↗
← N 36.315125°
E 50.273437°		 ← 31.499 km → N 36.315125°
E 50.625000°		 →
↑
31.556 km
↓
↑
31.556 km
↓
N 36.031332°
E 50.273437°		 ← 31.613 km →
995.806 km²		 N 36.031332°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64013671875 y=0.39208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64013671875 × 210)
    floor (0.64013671875 × 1024)
    floor (655.5)     		tx = 655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39208984375 × 210)
    floor (0.39208984375 × 1024)
    floor (401.5)     		ty = 401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 655 / 401 ti = "10/655/401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/655/401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 655 ÷ 210
    655 ÷ 1024     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 401 ÷ 210
    401 ÷ 1024     		y = 0.3916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3916015625 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.681087469801758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.681087469801758))-π/2
    2×atan(1.9760254322244)-π/2
    2×1.10230741443827-π/2
    2.20461482887654-1.57079632675     		φ = 0.63381850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63381850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.315125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 655 KachelY 401 0.87743701 0.63381850 50.273437 36.315125
    Oben rechts KachelX + 1 656 KachelY 401 0.88357293 0.63381850 50.625000 36.315125
    Unten links KachelX 655 KachelY + 1 402 0.87743701 0.62886537 50.273437 36.031332
    Unten rechts KachelX + 1 656 KachelY + 1 402 0.88357293 0.62886537 50.625000 36.031332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63381850-0.62886537) × R
    0.00495312999999997 × 6371000     		dl = 31556.3912299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63381850-0.62886537) × R
    0.00495312999999997 × 6371000     		dr = 31556.3912299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(0.63381850) × R
    0.00613592000000007 × 0.805771973626887 × 6371000     		do = 31499.1947391831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(0.62886537) × R
    0.00613592000000007 × 0.808695449364141 × 6371000     		du = 31613.4790957717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63381850)-sin(0.62886537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.805771973626887-0.808695449364141)×R²
    abs(0.88357293-0.87743701)×0.0029234757372546×R²
    0.00613592000000007×0.0029234757372546×6371000²
    0.00613592000000007×0.0029234757372546×40589641000000     		ar = 995806149.438362m²