Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 655 / 911
↖ ↑ ↗
← S 80.118564°
E 50.273437°		 ← 6 708.57 m → S 80.118564°
E 50.625000°		 →
↑
6 688.34 m
↓
↑
6 688.34 m
↓
S 80.178713°
E 50.273437°		 ← 6 668.13 m →
44 733 951 m²		 S 80.178713°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64013671875 y=0.89013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64013671875 × 210)
    floor (0.64013671875 × 1024)
    floor (655.5)     		tx = 655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89013671875 × 210)
    floor (0.89013671875 × 1024)
    floor (911.5)     		ty = 911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 655 / 911 ti = "10/655/911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/655/911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 655 ÷ 210
    655 ÷ 1024     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 911 ÷ 210
    911 ÷ 1024     		y = 0.8896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8896484375 × 2 - 1) × π
    -0.779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.44823333739551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44823333739551))-π/2
    2×atan(0.0864461728963008)-π/2
    2×0.086231797575893-π/2
    0.172463595151786-1.57079632675     		φ = -1.39833273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39833273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.118564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 655 KachelY 911 0.87743701 -1.39833273 50.273437 -80.118564
    Oben rechts KachelX + 1 656 KachelY 911 0.88357293 -1.39833273 50.625000 -80.118564
    Unten links KachelX 655 KachelY + 1 912 0.87743701 -1.39938254 50.273437 -80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 656 KachelY + 1 912 0.88357293 -1.39938254 50.625000 -80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39833273--1.39938254) × R
    0.00104981000000004 × 6371000     		dl = 6688.33951000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39833273--1.39938254) × R
    0.00104981000000004 × 6371000     		dr = 6688.33951000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(-1.39833273) × R
    0.00613592000000007 × 0.171609916673991 × 6371000     		do = 6708.56565059941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(-1.39938254) × R
    0.00613592000000007 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 6668.13166123794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39833273)-sin(-1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171609916673991-0.170575586251288)×R²
    abs(0.88357293-0.87743701)×0.00103433042270362×R²
    0.00613592000000007×0.00103433042270362×6371000²
    0.00613592000000007×0.00103433042270362×40589641000000     		ar = 44733950.6804644m²