Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 655 / 913
↖ ↑ ↗
← S 80.238500°
E 50.273437°		 ← 6 627.93 m → S 80.238500°
E 50.625000°		 →
↑
6 607.94 m
↓
↑
6 607.94 m
↓
S 80.297927°
E 50.273437°		 ← 6 587.97 m →
43 664 945 m²		 S 80.297927°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64013671875 y=0.89208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64013671875 × 210)
    floor (0.64013671875 × 1024)
    floor (655.5)     		tx = 655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89208984375 × 210)
    floor (0.89208984375 × 1024)
    floor (913.5)     		ty = 913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 655 / 913 ti = "10/655/913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/655/913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 655 ÷ 210
    655 ÷ 1024     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 913 ÷ 210
    913 ÷ 1024     		y = 0.8916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8916015625 × 2 - 1) × π
    -0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46050518369824))-π/2
    2×atan(0.085391801522948)-π/2
    2×0.0851851527048376-π/2
    0.170370305409675-1.57079632675     		φ = -1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 655 KachelY 913 0.87743701 -1.40042602 50.273437 -80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 656 KachelY 913 0.88357293 -1.40042602 50.625000 -80.238500
    Unten links KachelX 655 KachelY + 1 914 0.87743701 -1.40146321 50.273437 -80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 656 KachelY + 1 914 0.88357293 -1.40146321 50.625000 -80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40042602--1.40146321) × R
    0.00103718999999991 × 6371000     		dl = 6607.93748999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40042602--1.40146321) × R
    0.00103718999999991 × 6371000     		dr = 6607.93748999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(-1.40042602) × R
    0.00613592000000007 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 6627.93419247733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.88357293) × cos(-1.40146321) × R
    0.00613592000000007 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 6587.97187851119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40042602)-sin(-1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.168525041566953)×R²
    abs(0.88357293-0.87743701)×0.00102226462809027×R²
    0.00613592000000007×0.00102226462809027×6371000²
    0.00613592000000007×0.00102226462809027×40589641000000     		ar = 43664944.5098173m²