Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65528 / 65560
↖ ↑ ↗
← S  0.065918°
W  0.021973°		 ← 305.43 m → S  0.065918°
W  0.019226°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.068664°
W  0.021973°		 ← 305.43 m →
93 265 m²		 S  0.068664°
W  0.019226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499942779541016 y=0.500186920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499942779541016 × 217)
    floor (0.499942779541016 × 131072)
    floor (65528.5)     		tx = 65528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500186920166016 × 217)
    floor (0.500186920166016 × 131072)
    floor (65560.5)     		ty = 65560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65528 / 65560 ti = "17/65528/65560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65528/65560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65528 ÷ 217
    65528 ÷ 131072     		x = 0.49993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65560 ÷ 217
    65560 ÷ 131072     		y = 0.50018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00038350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00038350} λ = -0.00038350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00115048559088135))-π/2
    2×atan(0.998850175963939)-π/2
    2×0.784822920728908-π/2
    1.56964584145782-1.57079632675     		φ = -0.00115049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00038350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00115049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.065918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65528 KachelY 65560 -0.00038350 -0.00115049 -0.021973 -0.065918
    Oben rechts KachelX + 1 65529 KachelY 65560 -0.00033556 -0.00115049 -0.019226 -0.065918
    Unten links KachelX 65528 KachelY + 1 65561 -0.00038350 -0.00119842 -0.021973 -0.068664
    Unten rechts KachelX + 1 65529 KachelY + 1 65561 -0.00033556 -0.00119842 -0.019226 -0.068664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00115049--0.00119842) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00115049--0.00119842) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00038350--0.00033556) × cos(-0.00115049) × R
    4.794e-05 × 0.999999338186453 × 6371000     		do = 305.425537865108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00038350--0.00033556) × cos(-0.00119842) × R
    4.794e-05 × 0.999999281894838 × 6371000     		du = 305.425520672199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00115049)-sin(-0.00119842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999338186453-0.999999281894838)×R²
    abs(-0.00033556--0.00038350)×5.6291615146975e-08×R²
    4.794e-05×5.6291615146975e-08×6371000²
    4.794e-05×5.6291615146975e-08×40589641000000     		ar = 93265.3596491548m²