Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65528 / 65576
↖ ↑ ↗
← S  0.109863°
W  0.021973°		 ← 305.43 m → S  0.109863°
W  0.019226°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.112610°
W  0.021973°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 S  0.112610°
W  0.019226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499942779541016 y=0.500308990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499942779541016 × 217)
    floor (0.499942779541016 × 131072)
    floor (65528.5)     		tx = 65528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500308990478516 × 217)
    floor (0.500308990478516 × 131072)
    floor (65576.5)     		ty = 65576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65528 / 65576 ti = "17/65528/65576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65528/65576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65528 ÷ 217
    65528 ÷ 131072     		x = 0.49993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65576 ÷ 217
    65576 ÷ 131072     		y = 0.50030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00038350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.0006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00038350} λ = -0.00038350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00191747598480225))-π/2
    2×atan(0.998084361197835)-π/2
    2×0.784439425992548-π/2
    1.5688788519851-1.57079632675     		φ = -0.00191747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00038350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00191747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.109863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65528 KachelY 65576 -0.00038350 -0.00191747 -0.021973 -0.109863
    Oben rechts KachelX + 1 65529 KachelY 65576 -0.00033556 -0.00191747 -0.019226 -0.109863
    Unten links KachelX 65528 KachelY + 1 65577 -0.00038350 -0.00196541 -0.021973 -0.112610
    Unten rechts KachelX + 1 65529 KachelY + 1 65577 -0.00033556 -0.00196541 -0.019226 -0.112610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00191747--0.00196541) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00191747--0.00196541) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00038350--0.00033556) × cos(-0.00191747) × R
    4.794e-05 × 0.999998161654963 × 6371000     		do = 305.425178522107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00038350--0.00033556) × cos(-0.00196541) × R
    4.794e-05 × 0.999998068582388 × 6371000     		du = 305.425150095347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00191747)-sin(-0.00196541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998161654963-0.999998068582388)×R²
    abs(-0.00033556--0.00038350)×9.30725750913908e-08×R²
    4.794e-05×9.30725750913908e-08×6371000²
    4.794e-05×9.30725750913908e-08×40589641000000     		ar = 93284.7068414808m²