Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65535 / 65537
↖ ↑ ↗
← S  0.002747°
W  0.002747°		 ← 305.43 m → S  0.002747°
E  0.000000°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.005493°
W  0.002747°		 ← 305.43 m →
93 265 m²		 S  0.005493°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499996185302734 y=0.500011444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499996185302734 × 217)
    floor (0.499996185302734 × 131072)
    floor (65535.5)     		tx = 65535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500011444091797 × 217)
    floor (0.500011444091797 × 131072)
    floor (65537.5)     		ty = 65537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65535 / 65537 ti = "17/65535/65537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65535/65537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65535 ÷ 217
    65535 ÷ 131072     		x = 0.499992370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65537 ÷ 217
    65537 ÷ 131072     		y = 0.500007629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499992370605469 × 2 - 1) × π
    -1.52587890625e-05 × 3.1415926535     		Λ = -0.00004794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500007629394531 × 2 - 1) × π
    -1.52587890625e-05 × 3.1415926535     		Φ = -4.79368996200562e-05
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00004794} λ = -0.00004794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-4.79368996200562e-05))-π/2
    2×atan(0.999952064249335)-π/2
    2×0.785374194947647-π/2
    1.57074838989529-1.57079632675     		φ = -0.00004794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00004794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.002747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00004794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.002747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65535 KachelY 65537 -0.00004794 -0.00004794 -0.002747 -0.002747
    Oben rechts KachelX + 1 65536 KachelY 65537 0.00000000 -0.00004794 0.000000 -0.002747
    Unten links KachelX 65535 KachelY + 1 65538 -0.00004794 -0.00009587 -0.002747 -0.005493
    Unten rechts KachelX + 1 65536 KachelY + 1 65538 0.00000000 -0.00009587 0.000000 -0.005493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00004794--0.00009587) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00004794--0.00009587) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00004794-0.00000000) × cos(-0.00004794) × R
    4.794e-05 × 0.999999998850878 × 6371000     		do = 305.425739649029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00004794-0.00000000) × cos(-0.00009587) × R
    4.794e-05 × 0.999999995404472 × 6371000     		du = 305.425738596407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00004794)-sin(-0.00009587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999998850878-0.999999995404472)×R²
    abs(0.00000000--0.00004794)×3.44640660454587e-09×R²
    4.794e-05×3.44640660454587e-09×6371000²
    4.794e-05×3.44640660454587e-09×40589641000000     		ar = 93265.4237306184m²