Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65540 / 65541
↖ ↑ ↗
← S  0.013733°
E  0.010986°		 ← 305.36 m → S  0.013733°
E  0.013733°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.016479°
E  0.010986°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 S  0.016479°
E  0.013733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500034332275391 y=0.500041961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500034332275391 × 217)
    floor (0.500034332275391 × 131072)
    floor (65540.5)     		tx = 65540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500041961669922 × 217)
    floor (0.500041961669922 × 131072)
    floor (65541.5)     		ty = 65541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65540 / 65541 ti = "17/65540/65541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65540/65541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65540 ÷ 217
    65540 ÷ 131072     		x = 0.500030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65541 ÷ 217
    65541 ÷ 131072     		y = 0.500038146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500030517578125 × 2 - 1) × π
    6.103515625e-05 × 3.1415926535     		Λ = 0.00019175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500038146972656 × 2 - 1) × π
    -7.62939453125e-05 × 3.1415926535     		Φ = -0.000239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00019175} λ = 0.00019175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000239684498100281))-π/2
    2×atan(0.999760344223934)-π/2
    2×0.785278321149546-π/2
    1.57055664229909-1.57079632675     		φ = -0.00023968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00019175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00023968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.013733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65540 KachelY 65541 0.00019175 -0.00023968 0.010986 -0.013733
    Oben rechts KachelX + 1 65541 KachelY 65541 0.00023968 -0.00023968 0.013733 -0.013733
    Unten links KachelX 65540 KachelY + 1 65542 0.00019175 -0.00028762 0.010986 -0.016479
    Unten rechts KachelX + 1 65541 KachelY + 1 65542 0.00023968 -0.00028762 0.013733 -0.016479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00023968--0.00028762) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00023968--0.00028762) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00019175-0.00023968) × cos(-0.00023968) × R
    4.793e-05 × 0.999999971276749 × 6371000     		do = 305.36202122901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00019175-0.00023968) × cos(-0.00028762) × R
    4.793e-05 × 0.999999958637368 × 6371000     		du = 305.362017369423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00023968)-sin(-0.00028762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999971276749-0.999999958637368)×R²
    abs(0.00023968-0.00019175)×1.26393807642344e-08×R²
    4.793e-05×1.26393807642344e-08×6371000²
    4.793e-05×1.26393807642344e-08×40589641000000     		ar = 93265.4207302196m²